Toric Variety

代数的なトーラス, つまり \((\mathbb {C}^{\times })^{n}\), の作用を持つ代数多様体が興味深い研究対象であることが分かってきたのは, 1970年代の最初のことらしい。 多面体の組み合せ論など, 予想外の分野との関連が次々に分ってきた。 その後, そのトポロジー版も盛んに研究されている。

• complete simplicial fan
• convex polytope
• Stanley-Reisner 環

解説としては次のようなものがある:

• Danilov の [Dan78]
• Fulton の [Ful93]
• Oda の [Oda88]
• Cox の [Cox97]
• Ewald の [Ewa96]

Ewald の本は, 前半で凸多面体の組み合せ論が解説してあり, 読み易い。

Toric variety と fan の対応を, toric stack と stacky fan の \(2\)-category の間の同値に拡張したのは, Iwanari の [Iwa09] である。この toric stack は Borisov と Chen と Smith により [BCS05] で導入されたもので, その coarse moduli space (object の同型類) が toric variety となるものである。

• toric stack
• stacky fan

凸多面体 \(P\) から, projective toric variety \(X_P\) が作られるが, その intersection cohomology は \(P\) に関する重要な情報を含んでいる。また \(X_P\) を経由せず, 直接 “combinatorial intersection cohomology” を作ることができる。 Barthel と Brasselet と Fieseler と Kaup [Bar+99; Bar+02] や Bressler と Lunts [BL03], そして Karu の [Kar04] で定義されたものである。その後, [Bar+05; Bar+07] といった結果がある。また, Braden の [Bra06] という解説がある。Braden と MacPherson の [BM01] では, moment graph という, 辺がベクトルでラベルづけられたグラフ上の sheaf が用いられている。

• moment graph とその上の sheaf

また, グラフからも toric variety が作られる。Sturmfels と Sullivant の [SS08] で定義されたのが最初なのだろうか。 系統樹と関係があるようで興味深い。

Torus equivariant cohomology は subspace arrangementとも関係があるようで興味深い。 Goresky と MacPherson の [GM10] や [Bra+11] など。

Toric variety の quantum cohomology については, Batyrev が [Bat93] で調べている。もちろん, 数理物理との関係では, toric variety の mirror symmetry も活発に研究されている話題である。その関連で, Borisov は [Bor05]でhigher Stanley-Reisner 環というものを定義している。

• higher Stanley-Reiser 環

Bahri と Bendersky は, [BB00] で toric variety の \(\mathrm {KO}\)-theory を計算している。 Scheme としての algebraic \(K\)-theory については, Au と Huang と Walker の [AHW09] がある。

Real toric variety の 基本群については, Uma が [Uma04] で調べている。

Toric variety の hyperkähler もしくは quaternionic analogue として hypertoric variety というものも考えられている。Proudfoot の解説 [Pro08] がある。

• hypertoric variety

代数群の代数多様体への作用を考えるときには, その quotient として geometric invariant theory (GIT) による quotient が考えられる。Toric variety と geometric invariant theory との関連については, Proudfoot の解説 [Pro05] がある。GIT quotient の構成には, 代数群の作用だけでなく ample line bundle も必要である。異なる ample line bundle を選べば別の quotient ができる。複素数体上では, cotangent bundle 上の moment map を用いた symplectic quotient も考えることができる。Proudfoot は [Pro11] でそれらの quotient の関係を調べている。

Mikhalkin は, [Mik05] で toric surface 上の curve の数え上げ (Gromov-Witten invarinat) に 関する公式を求めているが, それに tropical geometry が使われている点が興味深い。Mikhalkin は Madrid の ICM 2006 の Proceedings に概説 [Mik06] を書いている。

López Peña と Lorscheid は [LL11] で torus への分解を持つものを torified variety として定義している。Toric variety を含むだけでなく, “\(1\)個の元から成る体”との関係からも興味深い。

• torified variety

References

[AHW09]

Suanne Au, Mu-wan Huang, and Mark E. Walker. “The equivariant \(K\)-theory of toric varieties”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.5 (2009), pp. 840–845. arXiv: 0809 . 3378. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.10.010.

[Bar+02]

Gottfried Barthel, Jean-Paul Brasselet, Karl-Heinz Fieseler, and Ludger Kaup. “Combinatorial intersection cohomology for fans”. In: Tohoku Math. J. (2) 54.1 (2002), pp. 1–41. arXiv: math/0002181. url: http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1113247177.

[Bar+05]

Gottfried Barthel, Jean-Paul Brasselet, Karl-Heinz Fieseler, and Ludger Kaup. “Combinatorial duality and intersection product: a direct approach”. In: Tohoku Math. J. (2) 57.2 (2005), pp. 273–292. arXiv: math/0309352. url: http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1119888340.

[Bar+07]

Gottfried Barthel, Ludger Kaup, J.-P. Brasselet, and Karl-Heinz Fieseler. “Hodge-Riemann relations for polytopes: a geometric approach”. In: Singularity theory. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, pp. 379–410. arXiv: math/0602411. url: https://doi.org/10.1142/9789812707499_0014.

[Bar+99]

Gottfried Barthel, Jean-Paul Brasselet, Karl-Heinz Fieseler, and Ludger Kaup. “Equivariant intersection cohomology of toric varieties”. In: Algebraic geometry: Hirzebruch 70 (Warsaw, 1998). Vol. 241. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, pp. 45–68. arXiv: math/9904159. url: https://doi.org/10.1090/conm/241/03627.

[Bat93]

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[BB00]

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[BCS05]

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[Bra+11]

Tom Braden, Anthony Licata, Christopher Phan, Nicholas Proudfoot, and Ben Webster. “Localization algebras and deformations of Koszul algebras”. In: Selecta Math. (N.S.) 17.3 (2011), pp. 533–572. arXiv: 0905.1335. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-011-0058-y.

[Bra06]

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[Ful93]

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[Uma04]

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