Geometric Invariant Theory

Geometric invariant theoryとは, 簡単に言えば, 代数多様体 \(V\) に代数群 \(G\) が作用しているときの, その商空間の理論である。Mumford の本 (の Forgarty と Kirwan による改訂版) [MFK94] がある。

代数多様体の圏と可換環の圏の contravariant な対応の下で, affine空間は, 多項式環 \(k[x_1,\ldots ,x_n]\) に対応するが, affine空間の群 \(G\) による「商空間」は, 多項式環の不変式の成す環 \(k[x_1,\ldots ,x_n]^G\) に対応する, はずである。それをGIT (geometric invariant theory) quotient と言ったりする。

• GIT quotient

GIT quotient \(V//G\) をより少ないデータで表わすために考えられたのが, Kempf-Ness set というもので, Panov は [Pan06] で, その torus action の場合での一般化を考えている。

• Kempf-Ness set

References

[MFK94]

D. Mumford, J. Fogarty, and F. Kirwan. Geometric invariant theory. Third. Vol. 34. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)]. Springer-Verlag, Berlin, 1994, pp. xiv+292. isbn: 3-540-56963-4. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5.

[Pan06]

Taras Panov. “Topology of Kempf-Ness sets for algebraic torus actions”. In: Contemporary geometry and related topics. Univ. Belgrade Fac. Math., Belgrade, 2006, pp. 409–426. arXiv: math/0603556.