Generalizations and Variations of Abelian Categories

Abelian category は, ホモロジー代数を行なう場として導入されたものであるが, Abel圏ではない圏でホモロジー代数の類似を行ないたいという欲求から, 様々な一般化や変種が考えられている。 そのようなものとして, 例えば, 以下のようなものがある。

• quasi-abelian category
• semi-abelian category
• Quillen の exact category
• Barr の exact category [Bar71]
• partially Abelian exact category [Bue]

Quillen exact category の中でも, 特に Abelian category に近いものとして, Previdi [Pre12] が quasiabelian exact category を導入しているが, その論文の内容に間違いがあることが, Bühler の [Bue] で指摘されている。 Previdi は, (AIC) という条件を導入し, (AIC) とその双対を満すことが quasiabelian exact であることと同値であることを主張しているが, Bühler は, その反例を挙げている。そしてその2つの条件は quas-abelian category と同値であることを示している。 また (AIC) のみをみたすものは, Laumon の [Lau83] で登場する additve category と同値であることが示されている。

これらの一般化では, pre-additivity, つまり Abel 群の category で enrich されていることを仮定しているが, Deitmer [Dei12] は, \(\F _1\)上のホモロジー代数を開発するために, pre-additive とは限らないが, kernel cokernel を持つような圏でのホモロジー代数について考えている。Deitmer は, そのような圏を belian category と呼んでいる。 Dyckerhoff と Kapranov の proto-exact category [DK19] とかなり近い構造のようである。

• belian category

この proto-exact category を始めとして, Quillen の exact category 自体, 様々な方向に一般化されている。

• exact category の一般化や変種

Abel 圏の 高次化としては, Nakaoka の [Nak08]がある。M. Dupont の [Dup] もある。 それらの比較が [Nak10] で行なわれている。

別の方向の高次化として, Jasso [Jas16] の \(n\)-Abelian category や \(n\)-exact category がある。Iyama [Iya11] の \(n\)-cluster tilting subcategory の性質を公理化したものである。Ebrahimi と Nasr-Isfahani [EN23] は, \(n\Z \)-cluster tilting subcategory の性質から, \(n\Z \)-Abelian category や \(n\Z \)-exact category の概念を導入している。

• \(n\)-Abelian category
• \(n\Z \)-Abelian category

他にも Abel 群を Abelian hypergroup に変えたものを考えた Roberto と Tenório の [AT] もある。 このようなポルトガル語圏やスペイン語圏の人の名前は, どこからどこまでが姓なのか分りづらく, 文献を整理するときに苦労するが, この著者は, それぞれ Roberto と Tenório が姓のようである。

References

[AT]

Kaique Matias de Andrade Roberto and Ana Luiza Tenório. The Category of Hypergroups as a Hyper (quasi)Abelian Category. arXiv: 2205.02362.

[Bar71]

Michael Barr. “Exact categories”. In: Lecture Notes in Mathematics : Exact Categories and Categories of Sheaves. 1971, pp. 1–120. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0058580.

[Bue]

Theo Buehler. Remarks on partially abelian exact categories. arXiv: 2107.11086.

[Dei12]

Anton Deitmar. “Belian categories”. In: Far East J. Math. Sci. (FJMS) 70.1 (2012), pp. 1–46. arXiv: 1105.5290.

[DK19]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces. Vol. 2244. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xv+218. isbn: 978-3-030-27122-0; 978-3-030-27124-4. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-27124-4.

[Dup]

Mathieu Dupont. Abelian categories in dimension 2. arXiv: 0809.1760.

[EN23]

Ramin Ebrahimi and Alireza Nasr-Isfahani. “\(n\Bbb Z\)-abelian and \(n\Bbb Z\)-exact categories”. In: Q. J. Math. 74.4 (2023), pp. 1545–1570. arXiv: 2202.06711. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haad035.

[Iya11]

Osamu Iyama. “Cluster tilting for higher Auslander algebras”. In: Adv. Math. 226.1 (2011), pp. 1–61. arXiv: 0809.4897. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.03.004.

[Jas16]

Gustavo Jasso. “\(n\)-abelian and \(n\)-exact categories”. In: Math. Z. 283.3-4 (2016), pp. 703–759. arXiv: 1405.7805. url: https://doi.org/10.1007/s00209-016-1619-8.

[Lau83]

G. Laumon. “Sur la catégorie dérivée des \(\cD \)-modules filtrés”. In: Algebraic geometry (Tokyo/Kyoto, 1982). Vol. 1016. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1983, pp. 151–237. url: https://doi.org/10.1007/BFb0099964.

[Nak08]

Hiroyuki Nakaoka. “Cohomology theory in \(2\)-categories”. In: Theory Appl. Categ. 20 (2008), No. 16, 543–604.

[Nak10]

Hiroyuki Nakaoka. “Comparison of the definitions of abelian \(2\)-categories”. In: Tsukuba J. Math. 34.2 (2010), pp. 173–182. arXiv: 0904.0078.

[Pre12]

Luigi Previdi. “Sato Grassmannians for generalized Tate spaces”. In: Tohoku Math. J. (2) 64.4 (2012), pp. 489–538. arXiv: 1002.4863. url: http://dx.doi.org/10.2748/tmj/1356038976.