Bilinear Forms and Related Topics

双線型形式の代表的なものは内積であり, それを global 化したものが Riemann 計量であるが, 外にも様々なところで現れる。 対称でないものでは, symplectic vector space とか。

• Riemann 計量
• symplectic vector space

対称双線形形式 \(\langle - ,-\rangle \) が与えられたときに, \[ q(x) = \langle x,x\rangle \] と定義すると quadratic form が得られる。逆に, 標数が\(2\)ではない体上のベクトル空間では, quadratic form から双線型形式を復元することができる。

• quadratic form

一般の環上の quadratic form については, 例えば Knus の本 [Knu91] がある。 また, quadratic form に関連した古典的な問題として sums of squares の問題がある。

• sums of squares

双線形形式 \[ V\otimes _{k} V \rarrow {} k \] の adjoint を取ると写像 \[ V \rarrow {} \Hom _{k}(V,k)=V^{*} \] が得られる。また, evaluation map \[ V^{*}\otimes V \rarrow {} k \] がある。 これらのデータは, dual object を持つ monoidal category や duality を持つ category のモデルとなる構造である。

• 双対ベクトル空間
• monoidal category with duals
• category with duality や form category

代数的トポロジーで現れる evaluation map としては, ホモロジーとコホモロジーの双対性を表す Kronecker product \[ H^{n}(X;k)\otimes _{k} H_{n}(X;k) \rarrow {} k \] がある。

双線型形式の category 版としては, Abelian category \(\bm {A}\) などの上の \(\Hom \) とか \(\Ext ^{1}\) がある。 \[ \begin {split} \Hom _{\bm {A}} & : \bm {A}\times \bm {A} \rarrow {} \category {Abel} \\ \Ext ^{1}_{\bm {A}} & : \bm {A}\times \bm {A} \rarrow {} \category {Abel} \end {split} \] \(\bm {A}\) が \(k\)-linear ならば, Abel群の category ではなく \(k\)-module の category に値を取るが。

これらに関して「直交する」という概念を考えると, torsion pair や cotorsion pair という概念が得られる。

• torison pair
• cotorsion pair

Cotorsion pair は, Hovey [Hov02] による Abelian category の上の model structure の研究で中心的役割を果すものである。

Triangulated category の Grothendieck group 上で \(\Ext ^{i}\) の rank の alternating sum として定義されるものは, Euler form と呼ばれる。 Bridgeland の [Bri07] など。

• Euler form

References

[Bri07]

Tom Bridgeland. “Stability conditions on triangulated categories”. In: Ann. of Math. (2) 166.2 (2007), pp. 317–345. arXiv: math/0212237. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.317.

[Hov02]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.

[Knu91]

Max-Albert Knus. Quadratic and Hermitian forms over rings. Vol. 294. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a foreword by I. Bertuccioni. Springer-Verlag, Berlin, 1991, pp. xii+524. isbn: 3-540-52117-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-75401-2.