バー型の Eilenberg-Moore スペクトル系列

最も基本的なバー型の Eilenberg-Moore スペクトル系列は, 位相群 \(G\) と Künneth の同型をみたす homology theory \(h_*(-)\) に対する \[ E^2 = \Tor ^{h_*(G)}(h_*,h_*) \Longrightarrow h_*(BG) \] という形のスペクトル系列のことである。

その原型は, Moore [Moo60] による, 位相群 \(G\) と \(G\) が右から作用する空間 \(X\) と principal \(G\)-bundle の total space \(X\) に対する同型 \[ H_*\left (X\times _{G} Y\right ) \cong \Tor ^{S_*(G)}(S_*(X),S_*(Y)) \] である。ここで \(S_*(-)\) は singular chain functor であり, 右辺は differential graded module の圏での Tor である。右辺の Tor の元になっている chain complex に filtration を入れることにより, バー型の Eilenberg-Moore スペクトル系列が得られる。この Moore の結果は単に graded module としての同型であるが, Hess は, [Hes] で, その coalgebra 構造を考えるために, DCSH-resolution というものを導入している。また, Hess によると, coalgebra 構造を考えたものとして, Neisendorfer の本 [Nei10] や Felix, Halperin, Thomas の [FHT95] があるようである。

一般 (コ) ホモロジーを含めたバー型の Eilenberg-Moore スペクトル系列については様々な扱いがあるが, 最初は Ravenel と Wilson の Hopf ring に関する論文 [RW80] を読むのが一つの手である。Milgram の geometric bar construction による分類空間の構成を用いて, 分類空間のホモロジーに収束するスペクトル系列が構成してある。 この論文を理解すれば, より一般的な geometric bar construction に対するスペクトル系列の構成は自分でできるだろう。

他には, Adams の Students Guide [Ada72] の中にもある Rothenberg と Steenrod の構成 [RS65] がある。ただし, 詳細については未出版の論文をみないといけない。 その日本語訳なら三村の [三村護86] に収録されてはいるが。

Ravenel と Wilson の論文の目的は, Eilenberg-Mac Lane スペクトラムの \(K(n)\)-homology の Hopf ring を決定することが目的である。一般に, ring spectrum の Hopf ring を調べる際に, バー型の Eilenberg-Moore スペクトル系列は基本的な道具であるが, そのときには, Thomason と Wilson の論文 [TW80] で述べられている性質を知っているとよい。

References

[Ada72]

John Frank Adams. Algebraic topology—a student’s guide. London: Cambridge University Press, 1972, p. vi 300.

[FHT95]

Yves Félix, Steve Halperin, and Jean-Claude Thomas. “Differential graded algebras in topology”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 829–865. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50017-1.

[Hes]

Kathryn Hess. Multiplicative structure in equivariant cohomology. arXiv: 1011.6092.

[Moo60]

John C. Moore. “Algèbre homologique et homologie des espaces classifiants”. In: Périodicité des groupes d’Homotopie stables des groupes classiques, d’après Bott. Séminaire Henri Cartan tome 12 \(\mathrm{n}^{\mathrm{o}}\) 1 (1959/60). Paris: Secrétariat mathématique, 1960.

[Nei10]

Joseph Neisendorfer. Algebraic methods in unstable homotopy theory. Vol. 12. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2010, pp. xx+554. isbn: 978-0-521-76037-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511691638.

[RS65]

M. Rothenberg and N. E. Steenrod. “The cohomology of classifying spaces of \(H\)-spaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 71 (1965), pp. 872–875.

[RW80]

Douglas C. Ravenel and W. Stephen Wilson. “The Morava \(K\)-theories of Eilenberg-Mac Lane spaces and the Conner-Floyd conjecture”. In: Amer. J. Math. 102.4 (1980), pp. 691–748. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374093.

[TW80]

Robert W. Thomason and W. Stephen Wilson. “Hopf rings in the bar spectral sequence”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 31.124 (1980), pp. 507–511. url: http://dx.doi.org/10.1093/qmath/31.4.507.

[三村護86]

三村護. ホップ空間. Vol. 26. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1986.