分類空間の幾何学

Lie群の分類空間のコホモロジーの元が universal な特性類を与えることから, 分類空間は幾何学的問題を考える際にも重要である。その際, 分類空間をある種の多様体と考えることができると都合がよい。

例えば, geometric bar construction で構成した \(BG\) に, differentiable space の構造を入れるというアイデアがある。M. Mostow の [Mos79], Bott と Shulman と Stasheff の [BSS76], Gajer の [Gaj97] などである。 それより前に, J.W. Simth や K.T. Chen の [Smi66; Che73] という試みもあるが。また, \(BU\) については Sato Grassmannian という無限次元多様体としての構成がある。

• \(BG\) の differentiable space としての構造
• Sato Grassmannian [SW85]

\(BG\) の differentiable space としての構造については, Gajer の [Gaj97] を見るのがよいだろう。このように \(BG\) を geometric bar construction で構成するのは, 幾何学の分野でも一般的になってきたようで, Brylinski の 無限次元Lie群の topological group cohomology の研究 [Bry] でも用いられている。

代数群の場合は, やはり代数多様体で近似できるとうれしい。 これについては, Ekedahl の [Eke] などがある。

一方, 無限離散群の分類空間は, 有限次元になる場合が多い。そこで, そのホモトピー型の中で, 有限次元多様体がとれるか, という問題が考えられる。 Avramidi の [Avr] によると, Stallings により, 分類空間として \(d\)次元の cell complex が取れるなら, \(2d\)次元の多様体で取れる, ということが証明されているらしい。“The embedding of homotopy types into manifolds” という1965年の論文であるが, MathSciNet では見当らない。

References

[Avr]

Grigori Avramidi. Rational manifold models for duality groups. arXiv: 1506.06293.

[Bry]

Jean-Luc Brylinski. Differentiable Cohomology of Gauge Groups. arXiv: math/0011069.

[BSS76]

R. Bott, H. Shulman, and J. Stasheff. “On the de Rham theory of certain classifying spaces”. In: Advances in Math. 20.1 (1976), pp. 43–56.

[Che73]

Kuo-tsai Chen. “Iterated integrals of differential forms and loop space homology”. In: Ann. of Math. (2) 97 (1973), pp. 217–246.

[Eke]

Torsten Ekedahl. Approximating classifying spaces by smooth projective varieties. arXiv: 0905.1538.

[Gaj97]

Paweł Gajer. “Geometry of Deligne cohomology”. In: Invent. Math. 127.1 (1997), pp. 155–207. url: https://doi.org/10.1007/s002220050118.

[Mos79]

Mark A. Mostow. “The differentiable space structures of Milnor classifying spaces, simplicial complexes, and geometric realizations”. In: J. Differential Geom. 14.2 (1979), pp. 255–293. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214434974.

[Smi66]

J. Wolfgang Smith. “The de Rham theorem for general spaces”. In: Tôhoku Math. J. (2) 18 (1966), pp. 115–137.

[SW85]

Graeme Segal and George Wilson. “Loop groups and equations of KdV type”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 61 (1985), pp. 5–65. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__61__5_0.