Twisted K-theory に関連した話題

Twisted \(K\)-theory の性質を勉強する際には, まずは, 普通の\(K\)-theory と関連しているものが, twisted \(K\)-theoryの場合どうなっているかを, 調べるべきだろう。

\(K\)-theory の torsion free part (に \(\Q \) を tensor したもの) が Chern character により有理数係数の cohomology と同型になることから, twisted \(K\)-theory に \(\Q \) を tensor したものを考えようというのは自然なアイデアである。問題は, twisted \(K\)-theory に対する Chern character の定義と受け皿となるコホモロジーの定義である。 Compact manifold の場合を考えたのが, Mathai と Stevenson の [MS06] であり, global quotient である orbifold の場合が, Adem と Ruan の結果 [AR03] である。彼等の結果は既に一般化されていて, [TX06] で orbifold twisted \(K\)-theory に対し, 非可換幾何の視点から Chern character とその受け皿となるコホモロジーを定義し, \(\bbC \) を tensor したときの同型が証明されている。

他の試みとして, Atiyah と Segal による [AS06] がある。そこでは, twisted de Rham cohomology が定義され, Chern character も考えてられている。 Chern character 以外にも, Atiyah-Hirzebruch spectral sequence, Chern class, Adams operation などの twisted版が, 考えられている。

Cheeger と Simons の differential character の twisted version を考えるために, differential twisted \(K\)-theory を考えているのは, Carey と Mickelsson と Wang の [CMW09] である。

Twisted \(K\)-theory は, Verlinde algebra というものとも関係がある。[Fre01; FHT08] にある。 Freed-Hopkins-Teleman の [FHT08; FHT11a] では, twisted equivariant \(K\)-theory の場合も書いてある。

• twisted equivariant \(K\)-theory

つまり, \(G\) の twisted \(G\)-equivariant \(K\)-theory の計算である。その part II である[FHT13] では, loop group の表現についても考えている。Part III は, [FHT11b] らしい。Freed (と Hopkins と Teleman) のこれら一連の論文 [Fre02; FHT08; FHT11b; FHT13; FHT11a] は, Loop group と twisted \(K\)-theory の関連について考察したものである。 Freed-Hopkins-Teleman の仕事を, Verlinde algebra 以外のものに拡張しようという試み [EG09] もある。

Twisted equivariant \(K\)-theory が 物性物理学でも登場することは, 興味深い。Twisted \(K\)-theory の最初の物理との関係は, Witten による D-brane charnge との関係であるが。

位相空間の equivariant \(K\)-theory と言えば, Atiyah-Segal completion theorem であるが, その twisted version も Lahtinen [Lah12] により考えられている。

Kriz と Sati の [KS05] は, 数学の人には読みづらいが, homotopy論的な視点から twisted \(K\)-theory と \(S\)-duality の問題や twisted \(K\)-theory と elliptic cohomology の関係などについて述べている。

Atiyah-Singer の指数定理の視点からは, projective family of elliptic pseudodifferential operator と関係がある, らしい。[MMS05] また Clifford module 上の Dirac operator に対する Atiyah-Singer の index は, twisted \(K\)-theory の push-forward map を用いて表わせることを, Carey と Wang [CW08] が示している。 彼等は, twisted \(K\)-theory に対する Thom isomorphism を証明している。また, D-brane charge も彼等の push-forward map を用いて定義することができる。これは元の Witten の observation [Wit98] に近いことを数学的に実現しているように思える。

References

[AR03]

Alejandro Adem and Yongbin Ruan. “Twisted orbifold \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 237.3 (2003), pp. 533–556.

[AS06]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory and cohomology”. In: Inspired by S. S. Chern. Vol. 11. Nankai Tracts Math. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, pp. 5–43. arXiv: math/0510674.

[CMW09]

Alan L. Carey, Jouko Mickelsson, and Bai-Ling Wang. “Differential twisted \(K\)-theory and applications”. In: J. Geom. Phys. 59.5 (2009), pp. 632–653. arXiv: 0708.3114. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2009.02.002.

[CW08]

Alan L. Carey and Bai-Ling Wang. “Thom isomorphism and push-forward map in twisted \(K\)-theory”. In: J. K-Theory 1.2 (2008), pp. 357–393. arXiv: math/0507414. url: http://dx.doi.org/10.1017/is007011015jkt011.

[EG09]

David E. Evans and Terry Gannon. “Modular invariants and twisted equivariant \(K\)-theory”. In: Commun. Number Theory Phys. 3.2 (2009), pp. 209–296. arXiv: 0807.3759.

[FHT08]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Twisted equivariant \(K\)-theory with complex coefficients”. In: J. Topol. 1.1 (2008), pp. 16–44. arXiv: math / 0206257. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtm001.

[FHT11a]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Loop groups and twisted \(K\)-theory I”. In: J. Topol. 4.4 (2011), pp. 737–798. arXiv: 0711.1906. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr019.

[FHT11b]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Loop groups and twisted \(K\)-theory III”. In: Ann. of Math. (2) 174.2 (2011), pp. 947–1007. arXiv: math/0312155v3. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2011.174.2.5.

[FHT13]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Loop groups and twisted \(K\)-theory II”. In: J. Amer. Math. Soc. 26.3 (2013), pp. 595–644. arXiv: math / 0511232. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2013-00761-4.

[Fre01]

Daniel S. Freed. “The Verlinde algebra is twisted equivariant \(K\)-theory”. In: Turkish J. Math. 25.1 (2001), pp. 159–167. arXiv: math/0101038.

[Fre02]

Daniel S. Freed. “Twisted \(K\)-theory and loop groups”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. III (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 419–430. arXiv: math/ 0206237.

[KS05]

Igor Kriz and Hisham Sati. “Type IIB string theory, \(S\)-duality, and generalized cohomology”. In: Nuclear Phys. B 715.3 (2005), pp. 639–664. arXiv: hep-th/0410293. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2005.02.016.

[Lah12]

Anssi Lahtinen. “The Atiyah-Segal completion theorem in twisted \(K\)-theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.4 (2012), pp. 1925–1940. arXiv: 0809.1273. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.1925.

[MMS05]

Varghese Mathai, Richard B. Melrose, and Isadore M. Singer. “The index of projective families of elliptic operators”. In: Geom. Topol. 9 (2005), 341–373 (electronic). arXiv: math/0206002. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.341.

[MS06]

Varghese Mathai and Danny Stevenson. “On a generalized Connes-Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem”. In: Adv. Math. 200.2 (2006), pp. 303–335. arXiv: math/0404329. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2004.11.006.

[TX06]

Jean-Louis Tu and Ping Xu. “Chern character for twisted \(K\)-theory of orbifolds”. In: Adv. Math. 207.2 (2006), pp. 455–483. arXiv: math/ 0505267. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.12.001.

[Wit98]

Edward Witten. “D-branes and \(K\)-theory”. In: J. High Energy Phys. 12 (1998), Paper 19, 41 pp. (electronic). arXiv: hep-th/9810188. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/1998/12/019.