Hyperplane arrangementやsubspace arrangementのcomplementのminimality

Yoshinaga の [Yos] にも書いてあるように, 複素超平面配置 \(\mathcal{A}\) の補集合 \(M(\mathcal{A})\) が, minimal space である, つまり, それとホモトピー同値な finite cell complex \(K\) で \(K\) の \(p\)-cellの個数と \(M(\mathcal{A})\) の \(p\)次 Betti数が等しいものが存在する, というのは興味深い事実である。

この事実の証明については, Dimcaの [Dim], Dimca と Papadima の [DP03], Papadima と Suciu の [PS02], Randell の [Ran02] などがある。 これらの証明は, Morse theory や Lefschetz hyperplane section theorem などの幾何学的な道具を用いたものである。

具体的に, その minimal complex の cell の attaching map が何であるかを調べることも重要である。Real arrangement の複素化の場合には, Yoshinaga の [Yos07] がある。 そこで用いられているのは, やはり幾何学的な道具である。

一方, 代数的トポロジーの視点からすると, まず思い付くことは, \(M(\mathcal{A})\) を CW complex で置き換えることである。 幸い, complement の combinatorial model は色々考えられている。例えば, real arrangement の複素化の場合には, Salvetti complex などがある。

残念ながら, Salvetti complex はまだ大きすぎるが, その cell を潰して, より小さな cell complex を作ることが考えられる。このアイデアは, real line arrangement の複素化の場合は, Falk [Fal93] により実現されている。 一般の real arrangement の複素化の場合は, Salvetti と Settepanella [SS07] が, discrete Morse theory を用いて行なっている。

この Salvetti と Settepanella の結果を, 組み合せ論の視点から見直したものとして, Delucchi らの仕事 [Del08; DS10] がある。

Real hyperplane arrangement からは, 複素化に限らず, \(\R ^n\) を tensor して codimension \(n\) の subspace arrangement が得られるが, それらについても, Salvetti complex の類似が構成できる。 Björner と Ziegler の [BZ92] の最後や De Concini と Salvetti の [DS00]などに書いてある。 それに対し, discrete Morse theory を適用したのが Mori と Salvetti の [MS11] である。

もちろん real hyperplane arrangement から来ていない subspace arrangement もある。Adiprasito [Adi] は, Björner と Ziegler [BZ92] の方法で作られた cell complex に discrete Morse theory を適用して, codimension 2 の場合の minimality を示している。

References

[Adi]

Karim A. Adiprasito. Combinatorial stratifications and minimality of 2-arrangements. arXiv: 1211.1224.

[BZ92]

Anders Björner and Günter M. Ziegler. “Combinatorial stratification of complex arrangements”. In: J. Amer. Math. Soc. 5.1 (1992), pp. 105–149. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152753.

[Del08]

Emanuele Delucchi. “Shelling-type orderings of regular CW-complexes and acyclic matchings of the Salvetti complex”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 6 (2008), Art. ID rnm167, 39. arXiv: 0705.3107. url: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnm167.

[Dim]

A. Dimca. Hypersurface complements, Milnor fibers and minimality of arrangements. arXiv: math/0011222.

[DP03]

Alexandru Dimca and Stefan Papadima. “Hypersurface complements, Milnor fibers and higher homotopy groups of arrangments”. In: Ann. of Math. (2) 158.2 (2003), pp. 473–507. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.158.473.

[DS00]

C. De Concini and M. Salvetti. “Cohomology of Coxeter groups and Artin groups”. In: Math. Res. Lett. 7.2-3 (2000), pp. 213–232.

[DS10]

Emanuele Delucchi and Simona Settepanella. “Combinatorial polar orderings and recursively orderable arrangements”. In: Adv. in Appl. Math. 44.2 (2010), pp. 124–144. arXiv: 0711.1517. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2008.11.005.

[Fal93]

Michael Falk. “Homotopy types of line arrangements”. In: Invent. Math. 111.1 (1993), pp. 139–150. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01231283.

[MS11]

Francesca Mori and Mario Salvetti. “(Discrete) Morse theory on configuration spaces”. In: Math. Res. Lett. 18.1 (2011), pp. 39–57. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2011.v18.n1.a4.

[PS02]

Stefan Papadima and Alexander I. Suciu. “Higher homotopy groups of complements of complex hyperplane arrangements”. In: Adv. Math. 165.1 (2002), pp. 71–100. arXiv: math/0002251. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2023.

[Ran02]

Richard Randell. “Morse theory, Milnor fibers and minimality of hyperplane arrangements”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 130.9 (2002), 2737–2743 (electronic). arXiv: math/0011101. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-02-06412-2.

[SS07]

Mario Salvetti and Simona Settepanella. “Combinatorial Morse theory and minimality of hyperplane arrangements”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 1733–1766. arXiv: 0705.2874. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2007.11.1733.

[Yos]

Masahiko Yoshinaga. Minimality of hyperplane arrangements and basis of local system cohomology. arXiv: 1002.2038.

[Yos07]

Masahiko Yoshinaga. “Hyperplane arrangements and Lefschetz’s hyperplane section theorem”. In: Kodai Math. J. 30.2 (2007), pp. 157–194. arXiv: math/0507311. url: http://dx.doi.org/10.2996/kmj/1183475510.