各種空間と空間に対する操作

トポロジーでは, 位相空間とその間の連続写像を調べる。 ではどの位相空間から始めればよだろう? 世の中には様々な位相空間があり, 中には pathological (病的) なものもある。位相空間論の教科書で, 読者の「常識」を打ち砕くための反例として選ばれるようなもの [SS95] である。

• 位相空間と距離空間
• 変な位相空間

“Analysis Situs” [Poi96] で Poincaré が調べたかったのは多様体である。しかしながら, 多様体の圏の中で議論を済ませようすると不便なことが多い。 可能な操作が非常に限られてしまうからである。 実際, Poincaré は, 最初 Euclid 空間の部分多様体の “homologous” という関係による同値類の集合を “ホモロジー群” として定義しようとしたのであるが, すぐにその不完全さを指摘されてまった。 例えば, 和を二つの多様体の和集合として定義しようにも, 部分多様体の和集合は多様体になるとは限らない。 この困難を克服するために, Poincaré は単体分割を持った空間, つまり単体的複体を考えざるを得なくなったのである。

• Euclid空間とそれに関連した空間
• 曲面
• 多様体
• 向き付け
• 多面体
• 単体的複体

単体的複体でもまだ不自由なことは多く, そのため代数的トポロジーでは CW 複体と単体的集合 (simplicial set) という二つの一般化を持つに至った。分野にもよるが, ’60 年代ぐらいまでは CW 複体で, 最近は simplicial set の圏で議論をすることが多い。 もちろん今でも CW 複体は重要な概念である。また, 他にも代数的トポロジーを行なうのに適した圏は色々ある。

• CW 複体やより一般の cell complex
• 単体的集合とその変種
• 代数的トポロジーを行なうのに便利な圏

このような一般的な空間の class の大雑把な性質ではなく, 特定の問題に現われる空間を詳しく調べることも重要である。

• Lie 群に関連した空間
• semialgebraic set やその一般化
• 代数多様体や scheme
• 特異点を持つ多様体を含む filtered space と stratified space
• 写像空間
• 分類空間

現代の代数的トポロジーの特徴として, 空間レベルで様々な操作を行うことが挙げられる。 現代数学に触れたことのない人は, 「数学とは, 与えられた数から様々な演算や関数を用いて計算結果を得ること」 と思っている人が多いように思うが, 誤解を恐れずに言うと, ここで「数」を「空間」に変えたことが実際に行なわれているのが, 現代の代数的トポロジーの最大の特徴ではないかと思う。 例えば, Goodwillie 流の関手の微分など。

• 空間に対する各種操作

そのような空間レベルの操作を行なう際によく現れるのが, 空間の図式やその特別な場合である群作用である。 これらは空間の概念の一般化とみなすことができる。 他にも様々な一般化された空間が考えられており, それらに対しても代数的トポロジーの手法が拡張されている。

• 群の作用を持つ空間
• 空間の図式

「代数的トポロジーの手法」の代表的なものは, ホモロジー群やホモトピー群などの代数的なホモトピー不変量であるが, そのようなものでは, 位相空間の圏を完全に記述することができないことを Freyd が [Fre70] で示している。 この MathOverflow の質問の回答によると, この結果は Freyd uncertainty principle と呼ばれているようである。

• Freyd uncertainty principle

References

[Fre70]

Peter Freyd. “Stable homotopy. II”. In: Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVII, New York, 1968). Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1970, pp. 161–183.

[Poi96]

Henri Poincaré. Œuvres. Tome VI. Les Grands Classiques Gauthier-Villars. [Gauthier-Villars Great Classics]. Géométrie. Analysis situs (topologie). [Geometry. Analysis situs (topology)], Reprint of the 1953 edition. Sceaux: Éditions Jacques Gabay, 1996, pp. v+541. isbn: 2-87647-176-0.

[SS95]

Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach Jr. Counterexamples in topology. Reprint of the second (1978) edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1995, pp. xii+244. isbn: 0-486-68735-X.