空間の向き付け

代数的トポロジーを学んで最初に触れる向き (orientation) は, 単体の向きだろうか。 直感的には多様体, 中でも曲面の向きが分りやすいだろう。基本は Euclid 空間の向きであるが。 そのもとになるアイデアは, 行列式である。

• 行列式と \(\R ^n\) の向き
• 多様体の向き
• 単体の向きは頂点の順序付けのことであり, 2つの向きが等しいのは順序を付け変える置換が偶置換のときである。

代数的トポロジーの視点からは, homology と向きの関係が重要である。

• \(n\) 次元多様体多様体 \(M\) の整係数 \(n\) 次 homology 群が \(H_n(M;\Z ) \cong \Z \) ならば, \(M\) の向きとは \(H_n(M;\Z )\) の生成元のことである。
• 向き付け可能な多様体の基本類

多様体の向きについては, Kreck の Manifold Atlas のページ [Kre13] が良いが, そこでは, Euclid空間の向きを, まず homology を用いて定義している。

ベクトル束に向きを定義し, 可微分多様体の向きは, その接束の向きとみなすこともできる。 より一般に, 一般ホモロジー論に関するベクトル束の向き付け可能性を論じることもできる。

• Thom class
• ベクトル束の向き
• 一般ホモロジー論に関する向き付け可能性と Thom 同型

一般ホモロジーに関する向き付けに関しては Rudyak の本 [Rud98] が詳しい。重要な事実のリストとしては, Kriz と Sati の elliptic cohomology の \(M\) 理論への応用に関する論文 [KS04] の Appendix A をみるとよい。

一般化としては, Hoekzema [Hoe20] による \(k\)-orientability がある。Stiefel-Whitney class \(w_{i}\) が \(0<i<2^{k}\) で消えていることで定義される。

• \(k\)-orientable manifold

References

[Hoe20]

Renee S. Hoekzema. “Manifolds with odd Euler characteristic and higher orientability”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 14 (2020), pp. 4496–4511. arXiv: 1704.06607. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rny154.

[Kre13]

Matthias Kreck. Orientation of manifolds. 2013. url: http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orientation_of_manifolds.

[KS04]

Igor Kriz and Hisham Sati. “M-theory, type IIA superstrings, and elliptic cohomology”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 8.2 (2004), pp. 345–394. arXiv: hep-th/0404013. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1091543172.

[Rud98]

Yuli B. Rudyak. On Thom spectra, orientability, and cobordism. Springer Monographs in Mathematics. With a foreword by Haynes Miller. Berlin: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+587. isbn: 3-540-62043-5.