ゲージ理論

ゲージ理論を勉強するためには, まずファイバー束, そしてファイバー束を用いた connection と curvature の取り扱いを知っている必要がある。これらについては, Palais の “The Geometrization of Physics” とい う lecture note [Pal81] がある。 Palais のホームペー ジから download できる。

基本は, 主 \(S^1\) 束のゲージ理論である。

• 電磁気の理論を主 \(S^1\) 束のゲージ理論として理解すること。

Chern-Simons ゲージ理論については, Labastida の解説 [Lab] がある。 特にVassiliev 不変量との関係などが解説してある。もともとは Axelrod と Singer の [AS92; AS94b; AS94a] で登場したアイデアに基づくものらしい。

• Chern-Simons gauge theory

Connes と Dubois-Violette [CD02] は, Yang-Mills connection の covariant derivative の生成する algebra を考え, Yang-Mills algebra と名付けた。代数的に面白い性質を持っているらしい。

• Yang-Mills algebra

非可換ゲージ理論については, Landi と van Suijlekom による [LS08] という試みがある。

References

[AS92]

Scott Axelrod and I. M. Singer. “Chern-Simons perturbation theory”. In: Proceedings of the XXth International Conference on Differential Geometric Methods in Theoretical Physics, Vol. 1, 2 (New York, 1991). World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1992, pp. 3–45. arXiv: hep-th/9110056.

[AS94a]

Scott Axelrod and I. M. Singer. “Chern-Simons perturbation theory. II”. In: Perspectives in mathematical physics. Conf. Proc. Lecture Notes Math. Phys., III. Int. Press, Cambridge, MA, 1994, pp. 17–49.

[AS94b]

Scott Axelrod and I. M. Singer. “Chern-Simons perturbation theory. II”. In: J. Differential Geom. 39.1 (1994), pp. 173–213. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214454681.

[CD02]

Alain Connes and Michel Dubois-Violette. “Yang-Mills algebra”. In: Lett. Math. Phys. 61.2 (2002), pp. 149–158. arXiv: math/0206205. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020733628744.

[Lab]

J. M. F. Labastida. Chern-Simons Gauge Theory: Ten Years After. arXiv: hep-th/9905057.

[LS08]

Giovanni Landi and Walter D. van Suijlekom. “Noncommutative bundles and instantons in Tehran”. In: An invitation to noncommutative geometry. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2008, pp. 275–353. arXiv: hep-th/0603053. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812814333_0004.

[Pal81]

Richard S. Palais. The Geometrization of Physics. Lecture notes in Mathematics, Institute of Mathematics, National Tsing Hua University, Hsinchu, Taiwan, R.O.C. 1981. url: http://vmm.math.uci.edu/GeometrizationOfPhysics.pdf.