Spaces of Polygons and Linkages

異なる点の成す configuration space の変種としては, パワーショベルの腕のような, 関節のある腕の成す configuration space も考えられる。関節の位置が決まればその configuration が決まるので, 異なる点の成す configuration space と似ているが, 関節の間は伸び縮みできないのでかなり制限がつく。 関節の間の棒もぶつからないようにしようとすると, もっと動きが制限される。

まずは, このページを見るとよい。 Schütz の [Sch10] では, planar polygon space と呼ばれている。 代表的な結果としては, Kapovich と Millson の [KM95; KM02] がある。後者では, real algebraic set, complex algebraic set, smooth manifold などの実現可能性について調べられている。

日本人の結果としては [Kam92; Kam96; OHa07] などがある。Milgram と Trinkle の [MT04] というのもある。Farber と Schütz も [FS07] でホモロジーを調べている。 その変種のホモロジーを Farber と Fromm が [FF10] で調べている。彼等の [FF11] によると, motivation として統計物理の問題があるらしい。O’Hara の [OHa13] では Crippen という人の化 学関係の雑誌に発表された論文 [Cri92] が参照されている。 Configuration space の空間そのものの構造としては, 平面の場合に Panina の [Pan17] がある。

Hausmann らが調べている chain space というのもある。 [Hau07; FHS] など。 二点を結ぶそれぞれの辺の長さを指定した折れ線の成す空間である。 後者の論文では, diffeomorphism type がコホモロジーで決まるという Kevin Walker の予想が証明されている。 Schütz [Sch16a; Sch16b] は intersection homology を調べている。

射影空間の中の \(n\)角形の成す空間 (modulo projective transformation) を考えているのは, Richard Schwartz や Ovsienko や Tabachnikov ら [Sch08; OST10; MOT12] である。

平面の中の一辺の長さが \(n-2\) で他の辺が1の\(n\)角形の isometry class の成す空間が \(\RP ^{n-3}\) と同相であることが, Don Davis [Dav] によって示されている。

Don Davis は, [Dav17] で平面の中の一辺の長さが \(r\) で他の辺の長さが \(1\) の \(n\)角形の isometry class の成す空間の topological complexity を 調べている。

グラフに関連した configuration space として, tensegrity の configuration space がある。Doray と Karpenkov と Schepers の [DKS10] で調べられている。Tensegrity とは, 複数の棒をワイヤーで引っ張って組み合わせて作った構造物のことらしい。彼らは, 与えられたグラフに対し, そのグラフが tensegrity として \(\R ^n\) の中に実現できるか, という問題を考えるために tensegrity の configuration space の性質を調べている。

Bar-joint framework もほぼ同じものを指す言葉のようである。 グラフの頂点を Euclid空間に埋め込み, 線分で繋いだものであるが, その rigidity が古くから調べられている。 Laman の [Lam70] など。Dylan Thurston ら [GHT10] も調べている。 Tanigawa の [Tan12] では, 変種として body-bar framework, body-hinge framework なども挙げられている。Thurston ら [Gor+13] は hypergraph 版を考えている。 組み合せ論的構造は rigidity matroid という matroid で抽出できるようである。

Galashin と Panina [GP16] は quasilinkage という一般化を導入して調べている。

非ユークリッド空間の場合については, Kitson と Power の [KP14] などがある。

高次元版, つまり各面が凸多面体として Euclid 空間に埋め込まれた polyhedral complex で, 合同変換以外に変形する方法があるようなものを Gaifullin [Gai18] は flexible polyhedron と呼んでいる。

• flexible polyhedron

References

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