Dissections of Polygons in the Sense of Monsky

凸多角形の分割としては, まず 単体的複体への分割を考えたくなるが, 単体的複体になっていないような, 内部が交わらない三角形の和集合への分割も面白そうである。 そのような分割の研究は, Monsky の [Mon70] から発展した, ということを Abrams と Pommershiem の [AP] で知った。 Monsky は, そのような分割を dissection と呼んでいる。

Monsky は, 正方形 \([0,1]\times [0,1]\) の同じ面積の三角形への dissection に関する Richman と Thomas の問題 [RT67] を解決した。 Monsky は, \([0,1]\times [0,1]\) の三角形への dissection が与えられたとき, 三角形達の面積は, ある代数方程式をみたすことを証明している。 その系として, 奇数個の同じ面積の3角形には分割できないこと, つまり Richman と Thomas の問題への否定的解決を得た。

• Monsky’s equidissection theorem

高次元への dissection の一般化も容易であり, 実際 Mead [Mea79] により Monsky の定理の高次元版が証明されている。

一般の多角形についても Abrams と Pmmersheim の [AP14; AP22; AP] などを始めとして, 色々調べられているようである。

References

[AP]

Aaron Abrams and Jamie Pommersheim. Integrality relations for polygonal dissections. arXiv: 2301.03475.

[AP14]

Aaron Abrams and James Pommersheim. “Spaces of polygonal triangulations and Monsky polynomials”. In: Discrete Comput. Geom. 51.1 (2014), pp. 132–160. url: https://doi.org/10.1007/s00454-013-9553-6.

[AP22]

Aaron Abrams and Jamie Pommersheim. “Generalized dissections and Monsky’s theorem”. In: Discrete Comput. Geom. 67.3 (2022), pp. 947–983. arXiv: 2006.04286. url: https://doi.org/10.1007/s00454-021-00354-9.

[Mea79]

D. G. Mead. “Dissection of the hypercube into simplexes”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 76.2 (1979), pp. 302–304. url: https://doi.org/10.2307/2043008.

[Mon70]

Paul Monsky. “On dividing a square into triangles”. In: Amer. Math. Monthly 77 (1970), pp. 161–164. url: https://doi.org/10.2307/2317329.

[RT67]

Fred Richman and John Thomas. “Problem 5479”. In: Amer. Math. Monthly 74 (1967), p. 329.