Integrable Systems

可積分系とは何なのだろうか。と, 思う人はたくさんいるようで, Gil Kalai による “What is an integrable system?” という MathOverflow の質問は高く評価されている。

どうやら, 漠然とある class の 力学系を可積分系と呼ぶようで, 数学的にきちんと定義するのは難しいようである。 もちろん, 「可積分」であることを要求するわけだが, その「可積分」の意味は, 文脈により様々である。可積分の意味について議論しているものとして, Veslov の Jürgen Moser との議論の記録 [Ves08] がある。

なるべくたくさん例を見るのがよいのだろう。

• KdV および KP方程式
• Toda lattice equation

Toda lattice を一般化し, semisimple Lie algebra に対する Toda lattice が定義されている。Casian と Kodama の [CK06] では, Bogoyavlensky の [Bog76] と Kostant の [Kos79] が参照されている。

Casian と Kodama [CK06] は, Toda lattice とその Lie algebra の flag manifold の cohomology の関係について述べたものである。 また [CK] では, その類似として, KP方程式 と real Grassmann多様体のコホモロジーの関係について述べている。

Varchenko [Var11] によると, quantum integrable system とは, vector space の上の互いに可換な“興味深い”線形作用素の族のことのようである。 もちろん “quantum” というからには, Karasev [Kar09] がいうように, 対応する“classicalな” integrable system が存在するべきだろう。

• quantum integrable system

そして, Varchenko によると, それらの operator の common eigenvalue と eigenvector を求めることが基本的な問題である。そのための方法として Bethe Ansatz という方法がある。

• Bethe Ansatz

Quantum integrable system の例としては, Lie algebra から定義される Gaudin model [Gau76; Gau83] がある。

• Gaudin model

Varchenko [Var11] は, その一般化となる quantum integrable system を, weighted hyperplane arrangement から構成している。

Discrete integrable system は, 当然, 組み合せ論と関係が深い。 Di Francesco の review [Di 14; Di 18] がある。

• discrete integrable system

最近では, やはり cluster algebra との関係だろうか。Gekhtman と Izosimov の survey [GI] がある。

• cluster integrable system

References

[Bog76]

O. I. Bogoyavlensky. “On perturbations of the periodic Toda lattice”. In: Comm. Math. Phys. 51.3 (1976), pp. 201–209.

[CK]

Luis Casian and Yuji Kodama. Cohomology of real Grassmann manifold and KP flow. arXiv: 1011.2134.

[CK06]

Luis Casian and Yuji Kodama. “Toda lattice, cohomology of compact Lie groups and finite Chevalley groups”. In: Invent. Math. 165.1 (2006), pp. 163–208. arXiv: math/0504329. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0492-6.

[Di 14]

P. Di Francesco. “Integrable combinatorics”. In: XVIIth International Congress on Mathematical Physics. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2014, pp. 29–51. arXiv: 1210.4514.

[Di 18]

Philippe Di Francesco. “Integrable combinatorics”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians—Rio de Janeiro 2018. Vol. III. Invited lectures. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 2581–2596. arXiv: 1711.07865.

[Gau76]

M. Gaudin. “Diagonalisation d’une classe d’Hamiltoniens de spin”. In: J. Physique 37.10 (1976), pp. 1089–1098.

[Gau83]

Michel Gaudin. La fonction d’onde de Bethe. Collection du Commissariat à l’Énergie Atomique: Série Scientifique. [Collection of the Atomic Energy Commission: Science Series]. Paris: Masson, 1983, pp. xvi+331. isbn: 2-225-79607-6.

[GI]

Michael Gekhtman and Anton Izosimov. Integrable systems and cluster algebras. arXiv: 2403.07287.

[Kar09]

M. V. Karasev. “Quantum geometry and quantum mechanics of integrable systems”. In: Russ. J. Math. Phys. 16.1 (2009), pp. 81–92. arXiv: 0908.2048. url: https://doi.org/10.1134/S1061920809010051.

[Kos79]

Bertram Kostant. “The solution to a generalized Toda lattice and representation theory”. In: Adv. in Math. 34.3 (1979), pp. 195–338. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(79)90057-4.

[Var11]

Alexander Varchenko. “Quantum integrable model of an arrangement of hyperplanes”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 7 (2011), Paper 032, 55. arXiv: 1001.4553.

[Ves08]

A. P. Veselov. “A few things I learnt from Jürgen Moser”. In: Regul. Chaotic Dyn. 13.6 (2008), pp. 515–524. arXiv: 0810.5713. url: https://doi.org/10.1134/S1560354708060038.