Noncommutative Borsuk-Ulam Theorem

Borsuk-Ulam の定理の非可換版については, まず Yamashita [Yam] による “\(q\)-deformed sphere” に対するものがある。 奇数次元の場合は, Vaksmanと Soibelman [VS90] により導入された非可換球面, 偶数次元の場合は Hong と Szymanski [HS02] により導入されたものである。

より素朴なものとして, Baum と Dabrowski と Hajac [BDH] が提案しているものがある。 そのいくつかの場合は, Passer [Pasc] や Chirvasitu と Passer [CP] により解決されている。 Dabrowski と Hajac と Neshveyev [DHN] はその拡張を得ている。

Passer は球面の関数環の Rieffel deformation [Rie93] により得られるものについて調べている。 彼は, “\(\theta \)-deformed sphere” という呼び方をしているが, 奇数次元の場合は, Natsume と Olsen により [NO97] で導入されたものらしい。 その場合は, [Pasa] で証明されている。 偶数次元の場合は [Pasb] で証明されている。

References

[BDH]

Paul F. Baum, Ludwik Dabrowski, and Piotr M. Hajac. Noncommutative Borsuk-Ulam-type conjectures. arXiv: 1502.05756.

[CP]

Alexandru Chirvasitu and Benjamin Passer. Compact Group Actions on Topological and Noncommutative Joins. arXiv: 1604.02173.

[DHN]

Ludwik Dąbrowski, Piotr M. Hajac, and Sergey Neshveyev. Noncommutative Borsuk-Ulam-type conjectures revisited. arXiv: 1611.04130.

[HS02]

Jeong Hee Hong and Wojciech Szymański. “Quantum spheres and projective spaces as graph algebras”. In: Comm. Math. Phys. 232.1 (2002), pp. 157–188. url: https://doi.org/10.1007/s00220-002-0732-1.

[NO97]

T. Natsume and C. L. Olsen. “Toeplitz operators on noncommutative spheres and an index theorem”. In: Indiana Univ. Math. J. 46.4 (1997), pp. 1055–1112. url: https://doi.org/10.1512/iumj.1997.46.1152.

[Pasa]

Benjamin Passer. A Noncommutative Borsuk-Ulam Theorem for Natsume-Olsen Spheres. arXiv: 1503.01822.

[Pasb]

Benjamin Passer. Anticommutation in the Presentations of Theta-Deformed Spheres. arXiv: 1605.00038.

[Pasc]

Benjamin Passer. Free Actions on C*-algebra Suspensions and Joins by Finite Cyclic Groups. arXiv: 1510.04100.

[Rie93]

Marc A. Rieffel. “Deformation quantization for actions of \(\mathbf{R}^d\)”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 106.506 (1993), pp. x+93.

[VS90]

L. L. Vaksman and Ya. S. Soı̆bel\('\)man. “Algebra of functions on the quantum group \(\mathrm{SU}(n+1)\), and odd-dimensional quantum spheres”. In: Algebra i Analiz 2.5 (1990), pp. 101–120.

[Yam]

Makoto Yamashita. Equivariant comparison of quantum homogeneous spaces. arXiv: 1109.2991.