ホモトピー論的な topological monoid の group completion

代数的な group completion は, \(\Z _{\ge 0}\) から \(\Z \) を作る操作を一般の monoid に適用できるようにしたもので, \(K\)理論の構成に必要な操作である。 例えば, Barratt と Priddy の [BP72] では, “universal group” という名前で, その構成が書いてある。

Simplicial monoid に対しては, その構成がそのまま拡張できる。Group like な simplicial monoid に対しては, group completion が weak equivalence になるだろうという予想があったらしい。 Puppe [Pup59] によると John Moore の予想らしい。 Fiedorowicz [Fie02] により反例が与えられている。

Topological monoid に対しては, 代数的な group completion ではうまくいかないので, 代りにホモトピー論的な group completion が使われるようになった。 Barratt と Priddy の [BP72] あたりが最初だろうか。 代数的 \(K\) 理論など無限ループ空間を扱う際によく使われる。 そのため Quillen は “On the group completion of a simplicial monoid” という論文を Barratt と Priddy と同時期に書いた。長らく preprint だったが, 現在では Friedlander と Mazur の論文 [FM94] の Appendix に収録されている。

この Barrat, Priddy, Quillen の3人の名前を冠して呼ばれている事実として \[ \Omega B\left (\coprod _{n}B\Sigma _{n}\right ) \simeq \Omega ^{\infty }S^{\infty } = \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }(S^{0}) \] がある。

• Barratt-Priddy-Quillen theorem

その equivariant 版が Guillou と May により [GM17] で得られている。また equivariant かつ multiplicative 版が [Gui+] で得られている。

ホモトピー論的な group completion に関しては, Segal の論文 [Seg74] の §4 にまとめられている。Group completion (の topological version) との関連については, Lima-Filho の [Lim93] を見るとよい。また McDuff と Segal の論文 [MS76] では, \(H_*(\Omega BM)\) が \(H_*(M)\) の \(\pi _0(M)\) の作用に関する localization であることが証明されている。 McDuff と Segal の論文の内容については, この MathOverflow の質問とその Randal-Williams による回答が参考になる。 Randal-Williams は, その後それを論文 [Ran13] にしたようである。 関連した論文として Gritschacherの [Gri]も見るとよい。

高次ホモトピー群については, Ramras [Ram19] による記述がある。

McDuff と Segal の結果の拡張としては, Jeremy Miller と Palmer の [MP15] がある。Braun と Chuang とLazarev の dg algebra の derived localization に関する論文 [BCL18] の中でも, McDuff-Segal の定理の別証が得られている。 Simplicial monoid の場合であるが。

ホモトピー論的な group completion の歴史については, Pitsch と Scherer の論文 [PS04] を見るとよい。

Moi [Moi20] は, monoid が anti-homomorphism による involution を持つ場合に, ホモトピー論的な group completion の \(\Z _2\)-equivariant 版を考えている。

Lawson homology の定義に現われる topological monoid のホモトピー論的な group completion を考えるために, Friedlander と Gabber [FG93] は, monoid や monoid の作用に tractable という条件をつけることを考えている。そして tractable monoid は cancellation property を持つこと, などが示されている。

• tractable monoid

Gepner と Groth と Nikolaus [GGN15] は, \((\infty ,1)\)-category での (commutative) monoid object に対する構成とみなし, universal property として特徴付けている。

• \((\infty ,1)\)-category の commutative monoid object の group completion

References

[BCL18]

C. Braun, J. Chuang, and A. Lazarev. “Derived localisation of algebras and modules”. In: Adv. Math. 328 (2018), pp. 555–622. arXiv: 1505.01146. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.02.004.

[BP72]

Michael Barratt and Stewart Priddy. “On the homology of non-connected monoids and their associated groups”. In: Comment. Math. Helv. 47 (1972), pp. 1–14.

[FG93]

Eric M. Friedlander and Ofer Gabber. “Cycle spaces and intersection theory”. In: Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY, 1991). Houston, TX: Publish or Perish, 1993, pp. 325–370.

[Fie02]

Zbigniew Fiedorowicz. “A counterexample to a group completion conjecture of J. C. Moore”. In: Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), pp. 33–35. arXiv: math/0202260. url: https://doi.org/10.2140/agt.2002.2.33.

[FM94]

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[GGN15]

David Gepner, Moritz Groth, and Thomas Nikolaus. “Universality of multiplicative infinite loop space machines”. In: Algebr. Geom. Topol. 15.6 (2015), pp. 3107–3153. arXiv: 1305 . 4550. url: https://doi.org/10.2140/agt.2015.15.3107.

[GM17]

Bertrand J. Guillou and J. Peter May. “Equivariant iterated loop space theory and permutative \(G\)-categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.6 (2017), pp. 3259–3339. arXiv: 1207 . 3459. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.3259.

[Gri]

Simon Gritschacher. A remark on the group-completion theorem. arXiv: 1709.02036.

[Gui+]

Bertrand J. Guillou, J. Peter May, Mona Merling, and Angélica M. Osorno. Multiplicative equivariant \(K\)-theory and the Barratt-Priddy-Quillen theorem. arXiv: 2102.13246.

[Lim93]

Paulo Lima-Filho. “Completions and fibrations for topological monoids”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 340.1 (1993), pp. 127–147. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154549.

[Moi20]

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[MP15]

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[MS76]

D. McDuff and G. Segal. “Homology fibrations and the “group-completion” theorem”. In: Invent. Math. 31.3 (1975/76), pp. 279–284.

[PS04]

Wolfgang Pitsch and Jérôme Scherer. “Homology fibrations and “group-completion” revisited”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 153–166. arXiv: math/0307339. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839549.

[Pup59]

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[Ram19]

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[Ran13]

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[Seg74]

Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology 13 (1974), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.