Geometric Invariants of Matroids

Matroid からは, 様々な幾何学的対象が構成される。 まず, matroid から作られる各種 simplicial complex がある。

• simplicial complexes constructed from matroids

Oriented matroid は, 点の configuration の一般化と考えることができるので, 多面体の一般化とみなすこともできる。 よって多面体に対する概念を matroid に一般化しようという試みもある。 例えば, oriented matroid の “triangulation” を考えることもできる。Santos [San02] に依る。 多面体の頂点の affine 従属性からできる oriented matroid の場合, 元の 多面体の triangulation と一致する。 多面体のグラフ (\(1\)-skeleton) の matroid 版もある。Matroid polytope という種類の oriented matroid に対し定義される。“Polytope matroid” という名前にした方が誤解を招かなくてよいと思うのだが。

• matroid polytope
• matroid polytope のグラフ
• simple matroid polytope の face lattice はそのグラフから決まる (Cordovil [Cor])

多面体のグラフと言えば, realization space であるが, oriented matroid の realization space については, 有名な Mnëv の universality theorem [Mnë85; Mnë88] がある。どんな semi-algebraic set もある oriented matroid の realization space と stably equivalent になるということで, 驚くべきことだと思う。

• oriented matroid の realization space と Mnëv の universality theorem

実 超平面配置の Salvetti complex は, 本質的には oriented matroid に対して定義されたものである。

• oriented matroid の Salvetti complex

実 超平面配置からは, 半空間の共通部分で与えられる空間, つまり polyhedron の類似が考えられる。 そして polyhedral complex の一般化も考えることができる。例えば, Reading の [Rea12] など。

• oriented matroid の中の polyhedral complex

References

[Cor]

Raul Cordovil. Kalai orientations on matroid polytopes. arXiv: math/0504326.

[Mnë85]

N. E. Mnëv. “Varieties of combinatorial types of projective configurations and convex polyhedra”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 283.6 (1985), pp. 1312–1314.

[Mnë88]

N. E. Mnëv. “The universality theorems on the classification problem of configuration varieties and convex polytopes varieties”. In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. Vol. 1346. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1988, pp. 527–543. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082792.

[Rea12]

Nathan Reading. “Coarsening polyhedral complexes”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 140.10 (2012), pp. 3593–3605. arXiv: 1004.4194. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-2012-11194-3.

[San02]

Francisco Santos. “Triangulations of oriented matroids”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 156.741 (2002), pp. viii+80. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0741.