Abstract Convex Sets

凸という概念は, Euclid 空間の部分集合に対して定義されるが, 位相のように, ある集合上の構造として定義しようという試みが古くから行なわれている。

まず, 位相のように, ある条件をみたす部分集合の族として convexity を定義している人がいる。Kenney [Ken23] によると, そのような定義の最初は, Kay と Womble [KW71] によるもののようである。 現在では, Dawson [Daw87] の定義を用いるのが普通のようである。 Kenney は, 更に位相を持つ topological convexity space を考えている。

• convexity set
• topological convexity space

この\(n\)-Category Caféのpost では, アフィン空間や凸集合を operad 上の algebra として定義することが議論されている。

このような抽象的な凸集合の扱いは, かなり古くから様々な人が独立に思いついてきたようである。 Fritz の [Fri] もそのような論文の一つで, version 3 の最初には, いろんな人の仕事の焼き直しにすぎない, ということが書いてある。 そこでは, Stone の [Sto49] が最初だろう, と書いてある。 他に上げられているのは, universal algebra を使った Neumann の [Neu70], 量子力学への応用を考えた Gudder の[Gud73; Gud79; GS80], abstract convex set の圏を考えた Swirszczの [Świ74] である。

一方, MathOverflow でも質問があり, その回答では, Romanowska の仕事が上げられている。例えば, Romanowska と Smith の本 [RS02] がある。 nLab のページも有用である。

Sturtz [Stu18] は Börgerと Kemp [BK94] の本の定義を使っている。 また別の algebraic theory を用いたアプローチとして Meng の thesis [Men88] を挙げている。

Sturtz は, 最初この論文で Giry monad [Gir82] という measurable space の category 上の monad 上 の algebra の圏が convex space の圏と同値であると主張したが, Crhák [Crha; Crhb] により間違いであることが指摘されている。 Sturtz は最新版では, Giry monad 上の algebra の圏は “tame convex measurable space” の圏と同値であると修正している。

• finitary Giry monad

Fritz と Perrone の [FP20] では, distribution monad と呼ばれているが, convex combination monad と呼ばれることもあるようである。 Jacobs の [Jac18] では, probability distribution monad と呼ばれている。

別のアプローチとして, closure operator を用いた abstract convex geometry がある。 Adaricheva [AW10; Ada14] は, Edelman と Jamison の [EJ85] Dietrich [Die87] を参照している。

• abstract convex geometry

References

[Ada14]

Kira Adaricheva. “Representing finite convex geometries by relatively convex sets”. In: European J. Combin. 37 (2014), pp. 68–78. arXiv: 1101.1539. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2013.07.012.

[AW10]

Kira Adaricheva and Marcel Wild. “Realization of abstract convex geometries by point configurations”. In: European J. Combin. 31.1 (2010), pp. 379–400. arXiv: 0710.1248. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2008.12.017.

[BK94]

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[Crha]

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[Crhb]

Tomas Crhak. On functors from category of Giry algebras to category of convex spaces. arXiv: 1804.01345.

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[Die87]

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[Men88]

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[Neu70]

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[RS02]

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[Sto49]

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[Stu18]

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[Świ74]

T. Świrszcz. “Monadic functors and convexity”. In: Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 22 (1974), pp. 39–42.