ファイブレーションに関する基本的なことがら

ファイブレーション (fibration) という言葉で呼ばれるものには何種類かあるが, ここでは古典的なホモトピー論で用いられているものについてまとめた。 日本語の本なら, 西田の本 [西田吾85] や私の本 [玉20] などに書いてあることである。

かつては, fiber space と呼ばれることが多かった。Whitehead の本 [Whi78] によると, fiber space が最初に登場するのは, Hurewicz と Steenrod の論文 [HS41] であるが, そこでの定義は, 現在の Serre fibration や Hurewicz fibration の定義とは, 大きく異なるものである。

現在では, ホモトピー論で fibration と言ったときには, Serre fibration [Ser51] か Hurewicz fibration [Hur55] を指すことが多い。 この2種類の fibration は, covering homotoopy property あるいは homotopy lifting property と呼ばれるものを用いて定義される。

• 被覆ホモトピー性質 (covering homotopy property, CHP) あるいはホモトピー持ち上げ性質 (homotopy lifting property, HLP)

用語としては, 最近では homotopy lifting property の方が covering homotopy property より一般的なようである。

全ての空間に対し HLP を持つのが Hurewicz fibration で, 全ての CW 複体に対し HLP を持つのが Serre fibration である。

• Hurewicz fibration
• Serre fibration

このページでは, これらの fibration を区別する必要がないときには, まとめて fibration と呼ぶことにする。 2つの fibration を比べるときには, その間の写像やその homotopy が必要である。

• fibration

  \[ \begin {split} p & : E \longrightarrow B \\ p' & : E' \longrightarrow B' \end {split} \]
  に対し \(p\) から \(p'\) へのファイバーを保つ写像
• fibration の間ファイバーを保つ写像の間のホモトピーおよび ファイバーホモトピー同値

Fiber bundle の真似をして, 局所 (homotopy) 自明性を用いて定義する流儀もある。 Fadell の [Fad59] で登場したのが最初なのだろうか。 Dold [Dol63] によると, それは numerable な被覆を持つ空間に対しては, weak covering homotopy property を用いて定義したものと同値である。

• locally homotopy trivial fibration
• weak covering homotopy property or weak homotopy lifting property

Weak covering homotopy property は Dold の [Dol63] で登場したものだと思うが, そこでは Fuchs によっても考えられている, と書かれている。

この MathOverflow の質問では, 全ての空間に対し weak homotopy lifting property を持つものを Dold fibration と呼んでいる。

• Dold fibration

Locally homotopy trivial fibration に対しては, Čech cocycle のような transition cocycle が考えられる。もともと James Wirth の thesis で1965年に調べられたものであるが, 最近の用語等を用いて Wirth と Stasheff がまとめたもの [WS06] がある。

• locally homotopy trivial fibration の transition cocycle

典型的な例としては以下のものがある。

• 基点付き空間 \(X\) に対し \(X\) 上の path-loop fibration

  \[ \Omega X \longrightarrow PX \longrightarrow X \]
  は Hurewicz fibration になる。
• ファイバー束が Serre fibration になること。

Serre fibraion であるが Hurewicz fibration ではない例については, Ron Brown のもの [Bro66] や Allaud のもの [All68] がある。 この MathOverflow の質問への回答にもあるように, これらは, Serre fibration であるが, Dold fibration ではないものの例にもなっている。

基本的な性質としては, まずは次を知っているべきだろう。

• 任意の連続写像は, Hurewicz fibration に変形できる, つまり 連続写像 \(f : X \to Y\) に対し \(E_f\) を \(f\) の mapping track とし

  \[ \begin {split} p & : E_f \longrightarrow Y \\ i & : X \longrightarrow E_f \\ r & : E_f \longrightarrow X \end {split} \]
  を
  \[ \begin {split} p(x,\omega ) & = \omega (1) \\ i(x) & = (x,c_{f(x)}) \\ r(x,\omega ) & = x \end {split} \]
  で定義すると, 次が成り立つ:
  1. \(p : E_f \to Y\) は Hurewicz fibration である。

  2. \(i\)は次の図式を可換にし

     \[ \xymatrix { X \ar [r]^{i} \ar [d]_{f} & E_f \ar [d]^{p} \\ Y \ar @{=}[r] & Y } \]
     \(f\circ r \simeq p\) である。
  3. \(i\) と \(r\) は互いに homotopy inverse である。
• 連続写像の homotopy fiber の定義。

ここで, \(r\) は \(i\) の homotopy inverse ではあるが, fiberwise homotopy inverse ではないことに注意する。しかしながら, fiberwise homotopy inverse を見付けることはできる。

• Fibration の写像

  \[ \xymatrix { E \ar [dr] \ar [rr]^{f} & & E' \ar [dl] \\ & B & } \]
  が homotopy同値写像ならば, \(f\) の homotopy inverse として fibration の写像であるものが取れる。更に fiberwise homotopy inverse であるように取ることもできる。

この事実は [May99] にある。これを用いると次が証明できる。

• 底空間が弧状連結ならば, Hurewicz fibration の fiber はすべて同じホモトピー型を持つ。
• Hurewicz fibration を互いに homotopic な2つ写像で pull-back を取ると, できた fibration は fiberwise homotopy 同値。

• \(p : E \to B\) が Hurewicz fibration ならば, \(p\) を fibration に取り換えてできた fibration

  \[ E_p \longrightarrow B \]
  は元の fibration と fiber homotopy同値

これらは次を使っても証明できる。

• \(p : E \to B\) が Hurewicz fibration であるための必要十分条件は, \(\lambda \circ \xi = 1_{E_p}\) をみたす写像

  \[ \xi : E_p \longrightarrow \mathrm {Map}(I,E) \]
  が存在すること。ただし \(E_p\) は \(p\) の mapping track であり
  \[ \lambda : \mathrm {Map}(I,E) \longrightarrow E_p \]
  は
  \[ \lambda (\omega ) = (\omega (0), p\circ \omega ) \]
  で定義される写像。[Hur55; Hue55]

\(i:A\to X\) が cofibration のとき, 図式

が考えられるが, \(i\) がホモトピー同値ならば, 図式を可換にする \(X\to E\) が存在する。これは, Strøm [Str72] による 位相空間の圏のモデル圏の構造の一部であるが, この事実自体も, Strøm の [Str66] で Theorem 3 として証明されている。

• Hurewicz fibration は, cofibration かつホモトピー同値である連続写像に対し, right lifting property を持つ。

またその系として, \(i\) が cofibration で \(p\) が Hurewicz fibration ならば, 任意の可換図式

に対し, 図式を可換にする \(X\times [0,1]\to E\) が存在することが分かる。 この事実は, Stróm の論文の Theorem 4 であるが, 特別な場合は Allaud と Fadell の [AF62] に登場する。 また, compactly generated space の圏では, Hastings の [Has74] で示されている。 この性質は, Allaud と Fadell の論文では fiber homotopy extension theorem と呼ばれているが, Hastings の論文では covering homotopy extension property と呼ばれている。現在では homotopy lifting extension property と呼ぶのが普通かもしれない。

• Hurewicz fibration は, cofibration に対し covering homotopy extension property あるいは homotopy lifting extension property を持つ。

これは homotopy lifting property の相対版と考えられるが, それを up to homotopy で弱めたものとして Dugger と Isaksen の [DI04] に relative homotopy lifting property が登場する。それを用いると, ホモトピー群を用いずに, 弱ホモトピー同値写像の特徴付けができる。

• relative homotopy lifting property

Serre fibration については次が成り立つ。

• 底空間が弧状連結ならば, Serre fibration の fiber は, すべて同じ 弱ホモトピー型を持つ。

他に知っているべきなのは以下のこと。

• Hurewicz あるいは Serre fibration の連続写像による pull-back は, また Hurewicz あるいは Serre fibration になること。
• Serre fibration, よって Hurewicz fibration に対する ホモトピー群の長い完全列がある。

• 連続写像

  \[ f : X \longrightarrow Y \]
  は fibration の列
  \[ \cdots \longrightarrow \Omega X \rarrow {\Omega f} \Omega Y \longrightarrow F_f \longrightarrow X \rarrow {f} Y \]
  に拡張できること。
• Hurewicz fibration の fiberwise join は Hurewicz fibration になる。

この最後の事実は, 位相空間の圏の Strøm モデル構造で, functorial factorization の存在を示すために用いられている。

References

[AF62]

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[All68]

Guy Allaud. “On an example of R. Brown”. In: Arch. Math. (Basel) 19 (1968), 654–655 (1969). url: https://doi.org/10.1007/BF01899397.

[Bro66]

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[DI04]

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[Dol63]

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[Fad59]

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[Has74]

Harold M. Hastings. “Fibrations of compactly generated spaces”. In: Michigan Math. J. 21 (1974), 243–251 (1975). url: http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029001312.

[HS41]

W. Hurewicz and N. E. Steenrod. “Homotopy relations in fibre spaces”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 27 (1941), pp. 60–64. url: https://doi.org/10.1073/pnas.27.1.60.

[Hue55]

William Huebsch. “On the covering homotopy theorem”. In: Ann. of Math. (2) 61 (1955), pp. 555–563. url: https://doi.org/10.2307/1969813.

[Hur55]

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[May99]

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[Ser51]

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[Str66]

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[Str72]

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[Whi78]

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[WS06]

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[玉20]

玉木大. ファイバー束とホモトピー. 森北出版, 2020, p. 320. isbn: 978-4-627-05461-5.

[西田吾85]

西田吾郎. ホモトピー論. Vol. 16. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1985.