Pseudotopological Spaces

Pseudotopological space とは, ultrafilter を用いて定義される 位相空間の概念の一般化である。

• filter
• ultrafilter

Filter を用いて定義することもできる。Filter や ultrafilter から解説してあるものとして, Shulman の [Shu] があるので, まずはこれを読むのが良いと思う。

Dossena の [Dos] では, 文献として, Choquet の [Cho48], Bentley, Herrlich, Lowen の [BHL91], Herrlich, Lowen-Colebunders, Schwarz の [HLS91], Wyler の [Wyl91] が挙げられている。

Filter は収束の概念の一般化を定義するために用いられるが, filter を用いて定義される pseudotopological space を含む空間のクラスとして, convergence space や limit space と呼ばれるものがある。 例えば, Rieser の [Rie] や Milićević と Scoville の [MS] を見るとよい。

• convergence space
• limit space

Dossena [Dos] は, pseudotopological space や epitopological space を topological fundamental group を拡張するために用いている。

Rieser は limit space の category は cofibration category の構造を持つこと, そして pseudotopological space の category は model category の構造を持つことを示している。

Pseudotopological space の category の model structure の構成には, Ebel と Kapulkin による [EK] もある。 彼等は, Quillen による 位相空間の圏の model structure の構成を抽象化した枠組みを構築し, それが pseudotopological space の category に適用できることを示している。

Milićević と Scoville [MS] は, 高次ホモトピー群や 特異ホモロジーについて調べている。 彼等は [MS26] では, finite space の弱ホモトピー型 に関する McCord の定理 [McC66] の finite simple quiver に対する類似を得ているが, その枠組みとして, pseudotopological space を使っているのは興味深い。

References

[BHL91]

H. L. Bentley, H. Herrlich, and R. Lowen. “Improving constructions in topology”. In: Category theory at work (Bremen, 1990). Vol. 18. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1991, pp. 3–20.

[Cho48]

G. Choquet. “Convergences”. In: Ann. Univ. Grenoble. Sect. Sci. Math. Phys. (N.S.) 23 (1948), pp. 57–112.

[Dos]

Giacomo Dossena. Epitopological and pseudotopological fundamental group functors. arXiv: 1707.05601.

[EK]

Sterling Ebel and Chris Kapulkin. Synthetic approach to the Quillen model structure on topological spaces. arXiv: 2310.14235.

[HLS91]

H. Herrlich, E. Lowen-Colebunders, and F. Schwarz. “Improving Top: PrTop and PsTop”. In: Category theory at work (Bremen, 1990). Vol. 18. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1991, pp. 21–34.

[McC66]

Michael C. McCord. “Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces”. In: Duke Math. J. 33 (1966), pp. 465–474. url: http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077376525.

[MS]

Nikola Milićević and Nicholas A. Scoville. The directed Vietoris-Rips complex and homotopy and singular homology groups of finite digraphs. arXiv: 2409.01370.

[MS26]

Nikola Milićević and Nicholas A. Scoville. “A McCord-type theorem for pseudotopological spaces and directed graphs”. In: J. Appl. Comput. Topol. 10.3 (2026), Paper No. 14. url: https://doi.org/10.1007/s41468-026-00246-y.

[Rie]

Antonio Rieser. Cofibration and Model Category Structures for Discrete and Continuous Homotopy. arXiv: 2209.13510.

[Shu]

Michael Shulman. Pseudotopological spaces and the Stone-Čech compactification. url: https://home.sandiego.edu/~shulman/papers/pstonecech.pdf.

[Wyl91]

Oswald Wyler. Lecture notes on topoi and quasitopoi. World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ, 1991, pp. xii+290. isbn: 981-02-0153-2. url: https://doi.org/10.1142/9789814368247.