Measure Homology

Thurston は [Thu02] で measure homology という singular homology の variation を導入した。Singular \(k\)-chain の成す集合 \(\mathrm{Map}(\Delta ^k,X)\) に compact-open topology を入れ, その上の signed measure の成す vector space を考えるのである。Munkholm の [Mun80], Zastrow の [Zas98] などに書いてある。 Przewocki の [Prz] では, Milnor-Thurston homology と呼ばれている。

Singular homology との比較については, Löh の [Löh] がある。Löh の結果の relative版は, Frigerio と Pagliantini の [FP] で考えられている。

de Rham の current の理論は, Ambrosio と Kirchheim [AK00] により距離空間に一般化されているが, その homology が多くの場合 measure homology と一致することを Mitsuishi [Mit] が示した。

Berlanga [Ber08] は, measure homology に locally convex vector space の構造を定義した。Frigerio [Fri] は, それが Hausdorff であることを示している。

References

[AK00]

Luigi Ambrosio and Bernd Kirchheim. “Currents in metric spaces”. In: Acta Math. 185.1 (2000), pp. 1–80. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392711.

[Ber08]

Ricardo Berlanga. “A topologised measure homology”. In: Glasg. Math. J. 50.3 (2008), pp. 359–369. url: https://doi.org/10.1017/S0017089508004266.

[FP]

Roberto Frigerio and Cristina Pagliantini. Relative measure homology and continuous bounded cohomology of topological pairs. arXiv: 1105.4851.

[Fri]

Roberto Frigerio. A note on measure homology. arXiv: 1204.6198.

[Löh]

Clara Löh. Measure homology and singular homology are isometrically isomorphic. arXiv: math/0504103.

[Mit]

Ayato Mitsuishi. The coincidence of the current homology and the measure homology via a new topology on spaces of Lipschitz maps. arXiv: 1403.5518.

[Mun80]

Hans J. Munkholm. “Simplices of maximal volume in hyperbolic space, Gromov’s norm, and Gromov’s proof of Mostow’s rigidity theorem (following Thurston)”. In: Topology Symposium, Siegen 1979 (Proc. Sympos., Univ. Siegen, Siegen, 1979). Vol. 788. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1980, pp. 109–124.

[Prz]

Janusz Przewocki. Milnor-Thurston homology groups of the Warsaw Circle. arXiv: 1403.1478.

[Thu02]

William P. Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. 2002. url: http://library.msri.org/books/gt3m/.

[Zas98]

Andreas Zastrow. “On the (non)-coincidence of Milnor-Thurston homology theory with singular homology theory”. In: Pacific J. Math. 186.2 (1998), pp. 369–396. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.1998.186.369.