Matroidのデータから構成できるもの

Matroid は, graph や hyperplane arrangement など, 様々な 組み合せ論的構造の一般化になっているので, それらの不変量の matroid への拡張も考えられている。 そのようなものの代表は, Tutte polynomial である。 他にも様々な多項式不変量が定義されている。

• polynomial invariants of matroids

Tutte polynomial は, グラフの不変量が matroid に拡張された例であるが, グラフに対しては, 彩色に関する不変量が色々定義されている。 それらを matroid に一般化することも考えられている。 代表的なものは chromatic number であるが, それ以外にも様々な numerical invariant が定義されている。

• numerical invariants of matroids

代数的不変量としては, Orlik-Solomon algebra などの一般化がある。

• algebraic invariants of matroids

幾何学的対象, 特に, 多面体や 単体的複体の構成も重要である。

• geometric invariants of matroids

Matroid と 代数多様体の類似から, Chow ring などの代数多様体の不変量も matroid に一般化されてきている。

• Chow ring of matroid

特性類を matroid に一般化することも考えられている。López de Moderano と Rincón と Shaw の [LRS20] では, 超平面配置の complement の wonderful compactification に対する Chern class (MacPherson による Chern class の 特異点を持った多様体への一般化) を組み合せ論的に表し, それが任意の matroid に対し定義できることを示している。

References

[LRS20]

Lucía López de Medrano, Felipe Rincón, and Kristin Shaw. “Chern-Schwartz-MacPherson cycles of matroids”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 120.1 (2020), pp. 1–27. arXiv: 1707.07303. url: https://doi.org/10.1112/plms.12278.