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グラフに対しては, 様々な多項式が定義されるが, その matroid への一般化も, 多くの場合得られている。まず, Tutte
polynomial の一般化がある。 Gordon [Gor15] によると Crapo [Cra67] と Brylawski [Bry72]
により発見された。
Fink と Speyer [FS12] は, matroid から \(K\)-theory の class を構成しているが, Tutte polynomial
などもそれで表せるようである。
他にも色々な方法で多項式が定義される。Kung の [Kun10] の最初に, その中の次の多項式の間の関係, そして Tutte
polynomial との関係が書かれている。
- characteristic polynomial [Rot64]
- subset-corank polynomial
- nullity-corank polynomial あるいは rank generating polynomial
- basis generating polynomial と independent set generating polynomial
[MNY21]
- weight polynomial [JRV16]
Characteristic polynomial は, 超平面配置の characteristic polynomial と graph の
chromatic polynomial 共通の拡張になっているものである。 係数の log-concavity に関する予想があったが, Huh
[Huh12] により標数 \(0\) の体上で realizable な場合には証明された。その証明は hypersurface の Milnor number
と関連づけるものである。 Katz との共著によるその拡張では, toric variety の intersection number, そして tropical
intersection theory との関連が用いられている。
Kazhdan-Lusztig polynomial の matroid への一般化は, Elias, Proudfoot, Wakefield
[EPW16] により導入されたものである。 Gedeon, Proudfoot, Young による survey [GPY17a]
がある。
- Kazhdan-Lusztig polynomial [EPW16]
その equivariant version が, Gedeon, Proudfoot, Young [GPY17b]
により導入されている。他にもいくつか関連した多項式が定義されている。
- equivariant Kazhdan-Lusztig polynomial
- inverse Kazhdan-Lusztig polynomial [GX21]
- \(Z\)-polynomial [PXY18]
References
-
[Bry72]
-
T. H. Brylawski.
“The Tutte-Grothendieck ring”. In: Algebra Universalis 2 (1972),
pp. 375–388. url: https://doi.org/10.1007/BF02945050.
-
[Cra67]
-
Henry H. Crapo. “A higher invariant for matroids”. In: J.
Combinatorial Theory 2 (1967), pp. 406–417.
-
[EPW16]
-
Ben Elias, Nicholas Proudfoot, and
Max Wakefield. “The Kazhdan-Lusztig polynomial of a matroid”.
In: Adv. Math. 299 (2016), pp. 36–70. arXiv: 1412.7408. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.05.005.
-
[FS12]
-
Alex Fink and David
E. Speyer. “\(K\)-classes for matroids and equivariant localization”. In:
Duke Math. J. 161.14 (2012), pp. 2699–2723. arXiv: 1004.2403.
url: https://doi.org/10.1215/00127094-1813296.
-
[Gor15]
-
Gary Gordon. “Linear relations for a generalized Tutte polynomial”.
In: Electron. J. Combin. 22.1 (2015), Paper 1.79, 30. arXiv: 1405.
3735.
-
[GPY17a]
-
Katie Gedeon, Nicholas Proudfoot, and Benjamin Young.
“Kazhdan-Lusztig polynomials of matroids: a survey of results and
conjectures”. In: Sém. Lothar. Combin. 78B (2017), Art. 80, 12.
arXiv: 1611.07474.
-
[GPY17b]
-
Katie Gedeon, Nicholas Proudfoot, and Benjamin Young. “The
equivariant Kazhdan-Lusztig polynomial of a matroid”. In: J.
Combin. Theory Ser. A 150 (2017), pp. 267–294. arXiv: 1605.
01777. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2017.03.007.
-
[GX21]
-
Alice L. L. Gao and Matthew H. Y. Xie. “The inverse
Kazhdan-Lusztig polynomial of a matroid”. In: J. Combin. Theory
Ser. B 151 (2021), pp. 375–392. arXiv: 2007 . 15349. url:
https://doi.org/10.1016/j.jctb.2021.07.004.
-
[Huh12]
-
June Huh. “Milnor numbers of projective hypersurfaces and
the chromatic polynomial of graphs”. In: J. Amer. Math.
Soc. 25.3 (2012), pp. 907–927. arXiv: 1008 . 4749. url:
https://doi.org/10.1090/S0894-0347-2012-00731-0.
-
[JRV16]
-
Trygve Johnsen, Jan Roksvold, and Hugues Verdure. “A
generalization of weight polynomials to matroids”. In: Discrete
Math. 339.2 (2016), pp. 632–645. arXiv: 1311 . 6291. url:
https://doi.org/10.1016/j.disc.2015.10.005.
-
[Kun10]
-
Joseph P. S. Kung. “Convolution-multiplication identities for Tutte
polynomials of graphs and matroids”. In: J. Combin. Theory
Ser. B 100.6 (2010), pp. 617–624. arXiv: 0909 . 2264. url:
https://doi.org/10.1016/j.jctb.2010.05.003.
-
[MNY21]
-
Satoshi Murai, Takahiro Nagaoka, and Akiko Yazawa. “Strictness
of the log-concavity of generating polynomials of matroids”. In: J.
Combin. Theory
Ser. A 181 (2021), Paper No. 105351, 22. arXiv: 2003.09568. url:
https://doi.org/10.1016/j.jcta.2020.105351.
-
[PXY18]
-
Nicholas Proudfoot, Yuan Xu, and Ben Young. “The \(Z\)-polynomial
of a matroid”. In: Electron. J. Combin. 25.1 (2018), Paper No. 1.26,
21. arXiv: 1706.05575. url: https://doi.org/10.37236/7105.
-
[Rot64]
-
Gian-Carlo Rota. “On the foundations of combinatorial theory. I.
Theory of Möbius functions”. In: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und
Verw. Gebiete 2 (1964), 340–368 (1964).
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