単体的複体

単体的複体は, Poincaré が考えたホモロジー群の定義を “well-defiined” にするための様々な試みから形成されてきた概念である。 Dieudonné の [Die89]によると, 最初は多様体の単体分割だけを扱っていたのが, Euclid空間に埋め込まれた単体的複体, そして抽象的な単体的複体, 更にCW複体simplicial set というように定義が洗練されていった。

このように代数的トポロジーから見ると単体的複体は過渡的な概念であり, 現在ではあまり用いられることはない。その理由は, 余分な情報を含んでいること, そして functorial に扱うのが難しいこと, である。 単体的複体のホモロジーは, 単体分割に依らないので, 代数的トポロジー的性質を調べる際には, 単体分割は余分な情報なのである。もちろん, 具体的にホモロジーを計算するときには役に立つが, その際もより胞体の数が少ない胞体分割を考えるのが普通である。

単体達がどのように組み合わさっているかは, トポロジーというより組み合せ論の研究テーマであり, 組み合せ論で活発に研究されている。 最近では, 組み合せ論と代数的トポロジーの関係が, 緊密になってきているが, その方面を勉強するためには, 単体的複体に慣れ親しんでおく必要がある。 例えば Kozlov の本 [Koz08] の Part I には, 単体的複体をはじめとして, 凸多面体を貼り合わせた polyhedral complex, そしてCW複体までの基本的な性質がまとめられている。

また, 単体的複体や胞体複体は, グラフの高次元版とみなすこともできる。 例えば, Catanzaro と Chernyak と Klein [CCK] は, Kirchhoff の network theorem の高次元版を考えている。

もちろん, 組み合せ論的な問題だけでなく幾何学的問題にも使われる。

多様体の性質の組み合せ論的 (離散的) な類似としては, 負 (非正) の曲率を持った空間に対応する概念としての systolic complex がある。 Januszkiewicz と Swiatkowski により, [JŚ06] で導入された。Systolic complex に properly discontinously かつ cocompactlyに作用する群は, \(k\)-systolic group と呼ばれる。Osadja [Osa] によると Haglund によっても独立に発見された概念らしい。

  • \(k\)-systolic complex
  • \(k\)-systolic group

Benedetti と Ziegler [BZ11] によると, 数理物理にも使われるようである。Quantum gravity の離散化として単体的複体上で考えるというアプローチの解説として, Regge と Williams らの [RW00] や Ambjørn と Durhuus と Jonsson の [ADJ97] が挙げられている。

References

[ADJ97]

Jan Ambjørn, Bergfinnur Durhuus, and Thordur Jonsson. Quantum geometry. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. A statistical field theory approach. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, pp. xiv+363. isbn: 0-521-46167-7. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511524417.

[BZ11]

Bruno Benedetti and Günter M. Ziegler. “On locally constructible spheres and balls”. In: Acta Math. 206.2 (2011), pp. 205–243. arXiv: 0902.0436. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-011-0062-2.

[CCK]

Michael J. Catanzaro, Vladimir Y. Chernyak, and John R. Klein. Kirchhoff’s theorems in higher dimensions and Reidemeister torsion. arXiv: 1206.6783.

[Die89]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology. 1900–1960. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1989, pp. xxii+648. isbn: 0-8176-3388-X.

[JŚ06]

Tadeusz Januszkiewicz and Jacek Świa̧tkowski. “Simplicial nonpositive curvature”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 104 (2006), pp. 1–85. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-006-0038-5.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Osa]

Damian Osajda. Connectedness at infinity of systolic complexes and groups. arXiv: 0711.4093.

[RW00]

Tullio Regge and Ruth M. Williams. “Discrete structures in gravity”. In: J. Math. Phys. 41.6 (2000), pp. 3964–3984. arXiv: gr-qc/0012035. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.533333.