単体的複体

単体的複体は, Poincaré が考えた ホモロジー群の定義を “well-defiined” にするための様々な試みから形成されてきた概念である。 Dieudonné の [Die09]によると, 最初は 多様体の単体分割だけを扱っていたのが, Euclid空間に埋め込まれた単体的複体, そして抽象的な単体的複体, 更に CW複体や simplicial set というように定義が洗練されていった。

• 単体分割の問題
• 単体分割された多様体やその一般化

このように代数的トポロジーから見ると単体的複体は過渡的な概念であり, 現在ではあまり用いられることはない。その理由は, 余分な情報を含んでいること, そして functorial に扱うのが難しいこと, である。 単体的複体のホモロジーは, 単体分割に依らないので, 代数的トポロジー的性質を調べる際には, 単体分割は余分な情報なのである。もちろん, 具体的にホモロジーを計算するときには役に立つが, その際もより胞体の数が少ない 胞体分割を考えるのが普通である。

単体達がどのように組み合わさっているかは, トポロジーというより 組み合せ論の研究テーマであり, 組み合せ論で活発に研究されている。 最近では, 組み合せ論と代数的トポロジーの関係が, 緊密になってきているが, その方面を勉強するためには, 単体的複体に慣れ親しんでおく必要がある。 例えば Kozlov の本 [Koz08] の Part I には, 単体的複体をはじめとして, 凸多面体を貼り合わせた polyhedral complex, そして CW複体までの基本的な性質がまとめられている。

• 単体的複体に関する基本的なことがら
• 単体的複体の組み合せ論的構造
• 組み合せ論的可換環論 (combinatorial commutative algebra)

組み合せ論的構造など, 異なる視点から単体的複体を見ることにより, Poincaré の考えた方法以外にも様々な方法でホモロジーが定義されている。例えば, Fløystad [Flø07; Flø06] の enriched homology や Celoria [Cel23; CCC23; CCC] の überhomology など。

• enriched homology
• überhomology

また, \(Q\)-analysis という単体的複体の調べ方もある。 Riihimäki [Rii23] によると, Atkin により一連の論文 [Atk72; Atk74b; Atk76] と本 [Atk74a] の中で提案され, 調べられたもののようである。この Atkin の仕事は, Barcelo らの discrete homotopy theory とも関係ある。

• \(Q\)-analysis
• discrete homotopy theory

Atkin は, 2つの単体が \(q\)-単体を共有するとき \(q\)-near であると定義し, \(q\)-near な単体の列で繋がっている2つの単体は \(q\)-connected と定義し, \(q\)-connected component を調べる, ということを提案した。この \(q\)-connected という言葉は, ホモトピー群が消えていることで定義する連結性とまぎらわしいが, 変えるのは難しそうである。

様々な組み合せ論的構造や代数的構造から単体的複体が定義されるが, グラフから定義されるものについては, 次にまとめた。

• グラフからできる単体的複体

代数的構造から定義されるものとしては, 例えば, Cuntz と Lentner [CL17] による Nichols algebra から定義されるもの, Higashitani と Ueyama [HU23] による noncommutative projective scheme から定義されるものなどがある。 ホモロジー代数的構造から定義されるものとしては, Riedtmann と Schofield [RS91] による tilting module から定義されるものや, Aoki ら [Aok+] による \(2\)-term silting complex から定義されるものがある。

また, 単体的複体や 胞体複体は, グラフの高次元版とみなすこともできる。 例えば, Catanzaro と Chernyak と Klein [CCK15] は, Kirchhoff の network theorem の高次元版を考えている。

• generalizations and variations of graphs

胞体複体は単体的複体の一般化の一つであるが, 他にも色々一般化や変種が考えられている。

• generalizations and variations of simplicial complexes

References

[Aok+]

Toshitaka Aoki, Akihiro Higashitani, Osamu Iyama, Ryoichi Kase, and Yuya Mizuno. Fans and polytopes in tilting theory I: Foundations. arXiv: 2203.15213.

[Atk72]

R. H. Atkin. “From cohomology in physics to \(q\)-connectivity in social science”. In: Internat. J. Man-Mach. Stud. 4 (1972), pp. 139–167. url: https://doi.org/10.1016/S0020-7373(72)80029-4.

[Atk74a]

R. Atkin. Mathematical Structure in Human Affairs. Heinemann educational books. Heinemann Educational, 1974. isbn: 9780435820251.

[Atk74b]

R. H. Atkin. “An algebra for patterns on a complex. I”. In: Internat. J. Man-Machine Studies 6 (1974), pp. 285–307.

[Atk76]

R. H. Atkin. “An algebra for patterns on a complex. II”. In: Internat. J. Man-Mach. Stud. 8.5 (1976), pp. 483–498.

[CCC]

Luigi Caputi, Daniele Celoria, and Carlo Collari. From the Mayer-Vietoris spectral sequence to überhomology. arXiv: 2304.10134.

[CCC23]

Luigi Caputi, Daniele Celoria, and Carlo Collari. “Categorifying connected domination via graph überhomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.9 (2023), Paper No. 107381, 22. arXiv: 2201.00721. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2023.107381.

[CCK15]

Michael J. Catanzaro, Vladimir Y. Chernyak, and John R. Klein. “Kirchhoff’s theorems in higher dimensions and Reidemeister torsion”. In: Homology Homotopy Appl. 17.1 (2015), pp. 165–189. arXiv: 1206.6783. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n1.a8.

[Cel23]

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[CL17]

M. Cuntz and S. Lentner. “A simplicial complex of Nichols algebras”. In: Math. Z. 285.3-4 (2017), pp. 647–683. arXiv: 1503.08117. url: https://doi.org/10.1007/s00209-016-1711-0.

[Die09]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology 1900–1960. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1989 edition [MR0995842]. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2009, pp. xxii+648. isbn: 978-0-8176-4906-7. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4907-4.

[Flø06]

Gunnar Fløystad. “Cohen-Macaulay cell complexes”. In: Algebraic and geometric combinatorics. Vol. 423. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 205–220. arXiv: math/0502541. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/423/08079.

[Flø07]

Gunnar Fløystad. “Enriched homology and cohomology modules of simplicial complexes”. In: J. Algebraic Combin. 25.3 (2007), pp. 285–307. arXiv: math/0411570. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-006-0038-z.

[HU23]

Akihiro Higashitani and Kenta Ueyama. “Combinatorial classification of \((\pm 1)\)-skew projective spaces”. In: Q. J. Math. 74.3 (2023), pp. 939–956. arXiv: 2107.12927. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haad012.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Rii23]

Henri Riihimäki. “Simplicial \(q\)-Connectivity of Directed Graphs with Applications to Network Analysis”. In: SIAM J. Math. Data Sci. 5.3 (2023), pp. 800–828. arXiv: 2202.07307. url: https://doi.org/10.1137/22M1480021.

[RS91]

Christine Riedtmann and Aidan Schofield. “On a simplicial complex associated with tilting modules”. In: Comment. Math. Helv. 66.1 (1991), pp. 70–78. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02566636.