Quantale

Quantale とは, quantum locale という意味らしい。Locale が位相空間の一般化とみなすことができることから, 非可換な空間のモデルの一つと考えることもできるようである。 Rosenthal による本 [Ros90] がある。

• quantale とは sup-lattice の圏の monoid object である。

Resende が色々調べていて, Gel’fand-Naimark duality の非可換版も考えられている。Kruml と Resende らの [Kru+03; KR04] である。そこでは, Mulvey により定義されたという unital \(C^*\)-algebra \(A\) に対して定義される quantale \(\mathrm{Max}(A)\) の性質が調べられている。Mulvey の論文は ホームページ から download できるものもある。

• unital \(C^*\)-algebra の圏から unital involutive quantale の圏への functor Max

Max は, もちろん可換な \(C^*\)-algebra の極大イデアルの空間の類似であるが, 圏の同値にはなっていないようである。

また Resende は quantale と étale topological groupoid と inverse semigroup と pseudogroup の関係について [Res07; Res05] に書いている。

Quantale 上の層については, 様々なアプローチがあるようで, Resende とRodrigues [RR10] にまとめられている。

References

[KR04]

David Kruml and Pedro Resende. “On quantales that classify \(C^*\)-algebras”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 45.4 (2004), pp. 287–296. arXiv: math/0404001.

[Kru+03]

David Kruml, Joan Wick Pelletier, Pedro Resende, and Jiřı́ Rosický. “On quantales and spectra of \(C^*\)-algebras”. In: Appl. Categ. Structures 11.6 (2003), pp. 543–560. arXiv: math/0211345. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1026106305210.

[Res05]

Pedro Resende. Quantales as geometric objects: symmetry beyond groupoids? 2005. arXiv: math/0506451.

[Res07]

Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math/0412478. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.

[Ros90]

Kimmo I. Rosenthal. Quantales and their applications. Vol. 234. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990, pp. x+165. isbn: 0-582-06423-6.

[RR10]

Pedro Resende and Elias Rodrigues. “Sheaves as modules”. In: Appl. Categ. Structures 18.2 (2010), pp. 199–217. arXiv: 0711.4401. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9131-x.