Quantale とは, quantum locale という意味らしい。Locale が位相空間の一般化とみなすことができることから,
非可換な空間のモデルの一つと考えることもできるようである。 Rosenthal による本 [Ros90] がある。
Resende が色々調べていて, Gel’fand-Naimark duality の非可換版も考えられている。Kruml と Resende
らの [Kru+03; KR04] である。そこでは, Mulvey により定義されたという unital \(C^*\)-algebra \(A\) に対して定義される
quantale \(\mathrm{Max}(A)\) の性質が調べられている。Mulvey の論文は ホームページ から download できるものもある。
- unital \(C^*\)-algebra の圏から unital involutive quantale の圏への functor Max
Max は, もちろん可換な \(C^*\)-algebra の極大イデアルの空間の類似であるが, 圏の同値にはなっていないようである。
また Resende は quantale と étale topological groupoid と inverse semigroup と
pseudogroup の関係について [Res07; Res05] に書いている。
Quantale 上の層については, 様々なアプローチがあるようで, Resende とRodrigues [RR10] にまとめられている。
References
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[KR04]
-
David Kruml and Pedro Resende. “On quantales that classify
\(C^*\)-algebras”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 45.4 (2004),
pp. 287–296. arXiv: math/0404001.
-
[Kru+03]
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David Kruml, Joan Wick Pelletier, Pedro Resende, and Jiřı́
Rosický. “On quantales and spectra of \(C^*\)-algebras”. In: Appl. Categ.
Structures 11.6 (2003), pp. 543–560. arXiv: math/0211345. url:
http://dx.doi.org/10.1023/A:1026106305210.
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[Res05]
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Pedro Resende. Quantales as geometric objects: symmetry beyond
groupoids? 2005. arXiv: math/0506451.
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[Res07]
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Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv.
Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math/0412478. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.
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[Ros90]
-
Kimmo I. Rosenthal. Quantales and their applications. Vol. 234.
Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific
& Technical, Harlow; copublished in the United States with John
Wiley & Sons, Inc., New York, 1990, pp. x+165. isbn: 0-582-06423-6.
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[RR10]
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Pedro Resende and Elias Rodrigues. “Sheaves as modules”. In: Appl.
Categ. Structures 18.2 (2010), pp. 199–217. arXiv: 0711.4401. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9131-x.
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