その他 monoidal category の一般化や変種

Monoidal category に関係した構造としては, まず symmetric monoidal categorybraided monoidal category のように, monoidal category にいくつか条件をつけたもの, あるいは構造を付け加えたものがある。 逆に, monoidal category の条件を弱めたものも考えられている。

Buckley らは [Buc+15] で monoidal category に対する nerve として, object 1つの bicategory とみなして, bicategory の nerve を取るべきだと主張している。

  • monoidal nerve

2つ以上の monoidal structure を持つものも様々な場面で登場する。

Fusion category などのような monodal structure を持つ linear category は, 表現論などで良く使われる。

そのようなものの中には, coproduct を持つ comonoidal category というものもある。Femic [Fem21] によると, Neuchl の Ph.D thesis で導入されたらしい。更に, Femic は finite tensor category 上の coring category の概念を導入している。

  • comonoidal category
  • coring category

Ponto と Shulman [PS] は, small category \(S\) から symmetric monoidal category の成す bicategory への pseudofunctor のことを, \(S\)-indexed symmetric monoidal category と呼んでいる。

  • indexed monoidal category

Janelidze と Street [JS17] は, 可算個の元を一度に足す操作を持つ代数的構造として, series magma や series monoid という構造を導入し, その category 版として series monoidal category という可算個の object を一度に tensor できるものを考えている。

  • series monoidal category

高次の圏でも monoidal structure は考えられている。かなり複雑ではあるが。

Brayton Gray は, [Gra11] で co-Hopf space の category が “up to homotopy” で monoidal structure を持つことを示している。このように, model structure を用いて monoidal category の定義を弱めることができることについては, まだちゃんと定式化されていないように思える。 Monoidal model structure という概念はあるが。

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