その他 monoidal category の一般化や変種

Monoidal category に関係した構造としては, まず symmetric monoidal category や braided monoidal category のように, monoidal category にいくつか条件をつけたもの, あるいは構造を付け加えたものがある。 逆に, monoidal category の条件を弱めたものも考えられている。

• premonoidal category ([PR97])
• symmetric monoidal category
• braided monoidal category
• coboundary category
• skew-monoidal category
• lax and oplax monoidal category
• pivotal category and spherical category ([BW99])
• fusion category ([ENO05])
• ribbon category ortortile monoidal category ([Lyu95; Shu94])
• modular tensor category
• \(G\)-equivariant tensor category ([Kir])
• \(G\)-modular functor ([KP])
• Ann-category ([Qua])
• unipotent category ([EG08])
• quasisymmetric category ([EG08])
• involutive monoidal category ([Jac12])
• \(A_n\)-monoidal category ([FGV12])
• monoidal supercategory ([BE17])

Batanin と Weber [BW11] によると, lax monoidal category や oplax monoidal category は, Day と Street [DS03] により lax monoid の文脈で導入された。Batanin は [Bat08] で internal operad を用いて記述しているが, これは独立に考えられたものだろうか。 Batanin と Weber は, lax monoidal category で enrich された category を定義しているが, oplax monoidal category で enrich された category は Basile と Lejay と Morand の [BLM] で定義されている。

Buckley らは [Buc+15] で monoidal category に対する nerve として, object 1つの bicategory とみなして, bicategory の nerve を取るべきだと主張している。

• monoidal nerve

2つ以上の monoidal structure を持つものも様々な場面で登場する。

• 複数の monoidal structure を持つ category

Fusion category などのような monodal structure を持つ linear category は, 表現論などで良く使われる。

• 表現論 などで使われる linear monoidal category

そのようなものの中には, coproduct を持つ comonoidal category というものもある。Femic [Fem21] によると, Neuchl の Ph.D thesis で導入されたらしい。更に, Femic は finite tensor category 上の coring category の概念を導入している。

• comonoidal category
• coring category

Ponto と Shulman [PS12] は, small category \(S\) から symmetric monoidal category の成す bicategory への pseudofunctor のことを, \(S\)-indexed symmetric monoidal category と呼んでいる。

• indexed monoidal category

Janelidze と Street [JS17] は, 可算個の元を一度に足す操作を持つ代数的構造として, series magma や series monoid という構造を導入し, その category 版として series monoidal category という可算個の object を一度に tensor できるものを考えている。

• series monoidal category

高次の圏でも monoidal structure は考えられている。かなり複雑ではあるが。

• 高次の圏での monoidal structure

Brayton Gray は, [Gra11] で co-Hopf space の category が “up to homotopy” で monoidal structure を持つことを示している。このように, model structure を用いて monoidal category の定義を弱めることができることについては, まだちゃんと定式化されていないように思える。 Monoidal model structure という概念はあるが。

References

[Bat08]

M. A. Batanin. “The Eckmann-Hilton argument and higher operads”. In: Adv. Math. 217.1 (2008), pp. 334–385. arXiv: math/ 0207281. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.06.014.

[BE17]

Jonathan Brundan and Alexander P. Ellis. “Monoidal supercategories”. In: Comm. Math. Phys. 351.3 (2017), pp. 1045–1089. arXiv: 1603. 05928. url: https://doi.org/10.1007/s00220-017-2850-9.

[BLM]

Thomas Basile, Damien Lejay, and Kevin Morand. Categories enriched over oplax monoidal categories. arXiv: 2204.01032.

[Buc+15]

Mitchell Buckley, Richard Garner, Stephen Lack, and Ross Street. “The Catalan simplicial set”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 158.2 (2015), pp. 211–222. arXiv: 1309.6120. url: https://doi.org/10.1017/S0305004114000498.

[BW11]

Michael Batanin and Mark Weber. “Algebras of higher operads as enriched categories”. In: Appl. Categ. Structures 19.1 (2011), pp. 93–135. arXiv: 0803.3594. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9179-7.

[BW99]

John W. Barrett and Bruce W. Westbury. “Spherical categories”. In: Adv. Math. 143.2 (1999), pp. 357–375. arXiv: hep-th/9310164. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1800.

[DS03]

Brian Day and Ross Street. “Lax monoids, pseudo-operads, and convolution”. In: Diagrammatic morphisms and applications (San Francisco, CA, 2000). Vol. 318. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 75–96. url: https://doi.org/10.1090/conm/318/05545.

[EG08]

Pavel Etingof and Shlomo Gelaki. “Quasisymmetric and unipotent tensor categories”. In: Math. Res. Lett. 15.5 (2008), pp. 857–866. arXiv: 0708.1487.

[ENO05]

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Viktor Ostrik. “On fusion categories”. In: Ann. of Math. (2) 162.2 (2005), pp. 581–642. arXiv: math/0203060. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.162.581.

[Fem21]

Bojana Femić. “Coring categories and Villamayor-Zelinsky sequence for symmetric finite tensor categories”. In: Appl. Categ. Structures 29.3 (2021), pp. 485–527. arXiv: 1508 . 05420. url: https://doi.org/10.1007/s10485-020-09624-8.

[FGV12]

Zbigniew Fiedorowicz, Steven Gubkin, and Rainer M. Vogt. “Associahedra and weak monoidal structures on categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.1 (2012), pp. 469–492. arXiv: 1005.3979. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2012.12.469.

[Gra11]

Brayton Gray. “On generalized Whitehead products”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 363.11 (2011), pp. 6143–6158. arXiv: 0911.3133. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05392-4.

[Jac12]

Bart Jacobs. “Involutive categories and monoids, with a GNS-correspondence”. In: Found. Phys. 42.7 (2012), pp. 874–895. arXiv: 1003.4552. url: https://doi.org/10.1007/s10701-011-9595-7.

[JS17]

George Janelidze and Ross Street. “Real sets”. In: Tbilisi Math. J. 10.3 (2017), pp. 23–49. arXiv: 1704 . 08787. url: https://doi.org/10.1515/tmj-2017-0101.

[Kir]

Alexander Kirillov Jr. On \(G\)–equivariant modular categories. arXiv: math/0401119.

[KP]

Alexander Kirillov Jr. and Tanvir Prince. On \(G\)–modular functor. arXiv: 0807.0939.

[Lyu95]

Volodimir Lyubashenko. “Modular properties of ribbon abelian categories”. In: Proceedings of the 2nd Gauss Symposium. Conference A: Mathematics and Theoretical Physics (Munich, 1993). Sympos. Gaussiana. Berlin: de Gruyter, 1995, pp. 529–579. arXiv: hep-th/ 9405168.

[PR97]

John Power and Edmund Robinson. “Premonoidal categories and notions of computation”. In: Math. Structures Comput. Sci. 7.5 (1997). Logic, domains, and programming languages (Darmstadt, 1995), pp. 453–468. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0960129597002375.

[PS12]

Kate Ponto and Michael Shulman. “Duality and traces for indexed monoidal categories”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 23, 582–659. arXiv: 1211.1555.

[Qua]

Nguyen Tien Quang. Structure of Ann-categories and Mac Lane - Shukla cohomology. arXiv: 0708.3308.

[Shu94]

Mei Chee Shum. “Tortile tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 93.1 (1994), pp. 57–110. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(92)00039-T.