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Modular tensor category という概念がある。 Conformal field theory, \(3\)次元多様体の不変量, 量子群の表現,
vertex operator algebra と mooonshine等, 興味深い現象に関係するものらしい。
Beliakova, Blanchet, Contreras [BBC17] によると, Turaev により [Tur94] で
Reshetikhin-Turaev-Witten を formulate するために導入された。 その後, Lyubashenko [Lyu95a;
Lyu95d; Lyu95b; KL01] により semi-simplicity の条件が外されている。
解説としては, Rowell の [Row06] が簡潔で分かりやすい。 基本的な文献としては, Turaev の本 [Tur94] と
Bakalov-Kirillov の本 [BK01] が挙げられるだろう。 Müger の [Müg] や Walker の [Wal91]
も有用である。
例としては, 量子群の root of unity における表現の成す圏が典型的なものらしい。このように, modular tensor
category は, 何らかの表現を調べる際によく現われる。 Schweigert と Fuchs [SF12] では, 次のようなものが挙げられている。
Lyubashenko [Lyu95c] によると conformal field theory との関連は, Moore と Seiberg
[MS89] による。
Modular tensor category からは, mapping class group の表現の tower ができる。Bantay が,
その列について [Ban04]で調べている。
Modular tensor category と 3次元の extended TQFT (1次元から3次元までのもの) の対応については,
Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, Vicary の [Bar+] で調べられている。 その際に使 われている
extended TQFT の値域は, \(k\)-linear category の成す symmetric monoidal bicategory
である。
Modular tensor category を “群の作用で割る” ことを考えたのが, Alexander Kirillov Jr. の
[Kir02; Jr] である。 ベクトル空間の圏の場合は, Drinfeld double の表現の圏になる。Kirillov は, これは,
ホモトピー論的な商空間に関する等式 \[ \{\ast \}_{hG} = BG \] の categorification と考えているようである。 Kirillov は, その後 \(G\)-equivariant
modular tensor category という概念を [Kir] で考えている。
- \(G\)-equivariant modular tensor category
そのような equivariant modular tensor category の元になっている Hopf algebra として, Maier と
Nikolaus と Schweigert [MNS] は, Hopf algebra への weak \(G\)-action を考えている。
References
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