Graded Category

代数的トポロジーやホモロジー代数でよく使う grading は整数 \(\Z \) や非負整数 \(\Z _{\ge }\) による module や algebra の grading である。可換環 \(k\) 上の algebra は, object 1つの \(k\)-linear category なので, その定義を linear category に一般化するのは自然である。つまり linear category の morphism の成す module の grading である。 また次数を付ける \(\Z \) や \(\Z _{\ge 0}\) も一般の群や monoid で考えたい。

群 \(G\) に対する \(G\)-graded category の定義は, \(k\)-linear の場合は, \(G\) で index された coproduct decomposition を用いて定義されるのが普通である。通常の category の場合には, Fröhlich と Wall の [FW74] にあるように, \(G\) を object 1つの category と思ったときに \(G\) への functor を \(G\)-grading と思うことができる。Kashaev と Reshetikhin の [KR05] では \(G\)-category という名前で用いられている。

• 群 \(G\) による small category の grading
• 群 \(G\) による \(k\)-linear category の grading

もちろん, 群 \(G\) を small category に一般化するのも自然である。そのような一般化としては, comodule の構造を用いるのがよいと思う。それについては, [Tam] に書いた。

• small category \(I\) による enriched category の grading

Graded category は, 様々なところで登場するが, まずは Grothendieck construction との関連で理解するのがよいと思う。

Turaev は [Tur] で群で grading の付いた monodal category を考えている。

• crossed group category
• modular crossed group category

それから発展して, group coalgebra, group Hopf coalgebra, group coring などの代数的構造が, Hopf algebra の研究者により考えられている。例えば, Caenepeel と Jansen と Wang の [CJW08] に挙げられている文献を見るとよい。

References

[CJW08]

S. Caenepeel, K. Janssen, and S. H. Wang. “Group corings”. In: Appl. Categ. Structures 16.1-2 (2008), pp. 65–96. arXiv: math/0701931. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-007-9100-9.

[FW74]

A. Fröhlich and C. T. C. Wall. “Graded monoidal categories”. In: Compositio Math. 28 (1974), pp. 229–285.

[KR05]

R. Kashaev and N. Reshetikhin. “Invariants of tangles with flat connections in their complements”. In: Graphs and patterns in mathematics and theoretical physics. Vol. 73. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 151–172. arXiv: 1008.1384.

[Tam]

Dai Tamaki. The Grothendieck construction and gradings for enriched categories. arXiv: 0907.0061.

[Tur]

Vladimir Turaev. Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories. arXiv: math/0005291.