Matrices

行列の階数, 行列式, そして対角化は, 大学1年次の 線形代数の重要な話題の一つである。

• 行列式 (determinant) と小行列式
• 固有値と固有ベクトル
• trace
• Cayley-Hamilton の定理

行列式は, トポロジーでは, 多様体などの 向きを考えるときの基本になる。

行列式を非可換環上に拡張することも考えられている。その歴史については, Gel\('\)fand らの [Gel+05] を見るとよい。

行列式の category level への一般化は, Deligne [Del87] が考えたのが最初だろうか。Muro, Tonks, Witte [MTW15] がその一般化を考えている。

行列式を求めたり, 連立一次方程式を解いたりするときは, 普通, 行や列に関する基本変形を行なう。 特に行列式の場合は行と列を両方用いることができる。 一般の可換環上で行と列の基本変形を行なうときに, 最終的に目指す形の一つに Smith normal form と呼ばれるものがある。 Stanley の survey [Sta16] をまず見るとよい。

• Smith normal form

対角化を考えるときには, 対称行列や正規行列を知っているべきである。

• 対称行列
• 正規 (normal) 行列

正規行列の重要な性質として, ユニタリ行列で対角化できることがある。 実行列で正規行列に対応するのは対称行列である。実際, 実対称行列は直交行列で対角化できる。

• 直交行列
• ユニタリ行列

また, 可換な2つの正規行列は, 同時に対角化できる。 この事実は, トポロジーでは, 例えば Segal の connective \(K\)-homology の構成で定義される空間を, 点の上に互いに直交する有限次元ベクトル空間が乗っかったものの成す空間として記述するときに使う。 その詳細は, Segal の論文 [Seg77] には書いていないが, [Tam13] に書いた。

Segal の \(K\)-homology の空間は, \(C(X)\) から \(M_{n}(\bbC )\) への algebra homomorphism の成す空間であるが, \(X\) から \(M_{n}(\bbC )\) への連続写像の成す空間は \(M_{n}(C(X))\) と同一視できる。

その元の対角化については, Friedman と Park が [FP16; FP] でトポロジー的視点から調べている。 それによると \(M_{2}(C(S^{4}))\) の元で normal であるが対角化できないものを発見したのは, Kadison [Kad84] らしい。 その後, Grove と Pedersen [GP84] が対角化について調べている。

正規行列の重要な例は, Hermite行列である。

• Hermite行列

• positive definite な Hermite行列 \(A\) に対し

  \[ A = B^2 \]
  となる \(B\) がただ一つ存在する。

この事実は, Lie群に関係した空間の間の同相写像を作るときによく使われる。 例えば, [横田一71] でも使われているし, [Cra87] でも使われている。

行列式の定義の式で符号を全て正にしたものを permanent と言うらしい。Loebl の [LM11] で Jones 多項式を表わすために用いられている。

• pernament

行列式の変種としては, Gel\('\)fand-Kapranov-Zelevinsky の高次の行列式 (hyperdeterminant) や, Littlewood と Richardson の immanant [LR34; AN] などがある。

• hyperdeterminant
• immanant

小行列式が全て正 (あるいは非負) である行列を totally positive (あるいは totally non-negative) という。

• total positivity や total non-negativity

Fomin の [Fom10] によると, total positivity の理論は, classical mechanics や probability など様々なことに関連しているようである。もちろん, この Fomin の論文のタイトルにもあるように cluster algebra と関係が深い。

成分が非負の実数である正方行列に対しては, いわゆる Frobenius-Perron theorem が成り立つ。

• Frobenius-Perron theorem and Frobenius-Perron dimension

Albuquerque と Majid の [AM99] では, Hadamard行列によって定義された cochain で巡回群の group ring の積を twist した algebra が定義され, 調べられている。

• Hadamard 行列
• 複素 Hadamard 行列

複素 Hadamard 行列については, Tadej と Zyczkowski の concise course [TŻ06] がある。 Banica の [Ban12] によると, 複素 Hadamard行列は, subfactor, quantum group, 組み合せ論, 表現論, quantum physics など様々なところに現われるようである。

Banica は [HW21] という Invitation を書いている。複素 Hadamard 行列も含まれている。

References

[AM99]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “Quasialgebra structure of the octonions”. In: J. Algebra 220.1 (1999), pp. 188–224. arXiv: math/9802116. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7850.

[AN]

Alex Abreu and Antonio Nigro. A geometric approach to characters of Hecke algebras. arXiv: 2205.14835.

[Ban12]

Teodor Banica. “Quantum permutations, Hadamard matrices, and the search for matrix models”. In: Operator algebras and quantum groups. Vol. 98. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2012, pp. 11–42. arXiv: 1109.4888. url: https://doi.org/10.4064/bc98-0-1.

[Cra87]

M. C. Crabb. “On the stable splitting of \(\mathrm {U}(n)\) and \(\Omega \mathrm {U}(n)\)”. In: Algebraic topology, Barcelona, 1986. Vol. 1298. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 35–53. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082999.

[Del87]

P. Deligne. “Le déterminant de la cohomologie”. In: Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985). Vol. 67. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987, pp. 93–177. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/067/902592.

[Fom10]

Sergey Fomin. “Total positivity and cluster algebras”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II. New Delhi: Hindustan Book Agency, 2010, pp. 125–145. arXiv: 1005.1086.

[FP]

Greg Friedman and Efton Park. Chern classes and unitary equivalence of normal matrices over topological spaces. arXiv: 2205.13729.

[FP16]

Greg Friedman and Efton Park. “Unitary equivalence of normal matrices over topological spaces”. In: J. Topol. Anal. 8.2 (2016), pp. 313–348. arXiv: 1409.1905. url: https://doi.org/10.1142/S1793525316500126.

[Gel+05]

Israel Gelfand, Sergei Gelfand, Vladimir Retakh, and Robert Lee Wilson. “Quasideterminants”. In: Adv. Math. 193.1 (2005), pp. 56–141. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.03.018.

[GP84]

Karsten Grove and Gert Kjærgård Pedersen. “Diagonalizing matrices over \(C(X)\)”. In: J. Funct. Anal. 59.1 (1984), pp. 65–89. url: https://doi.org/10.1016/0022-1236(84)90053-3.

[HW21]

Winfried Hochstättler and Johanna Wiehe. “The chromatic polynomial of a digraph”. In: Graphs and combinatorial optimization: from theory to applications—CTW2020 proceedings. Vol. 5. AIRO Springer Ser. Springer, Cham, [2021] ©2021, pp. 1–14. arXiv: 1911.09547.

[Kad84]

Richard V. Kadison. “Diagonalizing matrices”. In: Amer. J. Math. 106.6 (1984), pp. 1451–1468. url: https://doi.org/10.2307/2374400.

[LM11]

Martin Loebl and Iain Moffatt. “A permanent formula for the Jones polynomial”. In: Adv. in Appl. Math. 47.4 (2011), pp. 659–667. arXiv: 0705.4548. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2011.03.003.

[LR34]

D. E. Littlewood and A. R. Richardson. “Group characters and algebra”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character 233.721-730 (1934), pp. 99–141. eprint: https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rsta.1934.0015. url: https://royalsocietypublishing.org/doi/abs/10.1098/rsta.1934.0015.

[MTW15]

Fernando Muro, Andrew Tonks, and Malte Witte. “On determinant functors and \(K\)-theory”. In: Publ. Mat. 59.1 (2015), pp. 137–233. arXiv: 1006.5399. url: http://projecteuclid.org/euclid.pm/1421861996.

[Seg77]

Graeme Segal. “\(K\)-homology theory and algebraic \(K\)-theory”. In: \(K\)-theory and operator algebras (Proc. Conf., Univ. Georgia, Athens, Ga., 1975). Berlin: Springer, 1977, 113–127. Lecture Notes in Math., Vol. 575.

[Sta16]

Richard P. Stanley. “Smith normal form in combinatorics”. In: J. Combin. Theory Ser. A 144 (2016), pp. 476–495. arXiv: 1602.00166. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2016.06.013.

[Tam13]

Dai Tamaki. “Twisting Segal’s \(K\)-homology theory”. In: Noncommutative geometry and physics. 3. Vol. 1. Keio COE Lect. Ser. Math. Sci. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2013, pp. 197–235. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814425018_0007.

[TŻ06]

Wojciech Tadej and Karol Życzkowski. “A concise guide to complex Hadamard matrices”. In: Open Syst. Inf. Dyn. 13.2 (2006), pp. 133–177. arXiv: quant-ph/0512154. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11080-006-8220-2.

[横田一71]

横田一郎. 群と位相. 東京: 裳華房, 1971, p. 268. isbn: 978-4785311056.