Topological quantum field theory などのおかげで, 高次の圏もかなり一般的になってきた。 The String
Coffee Table から派生して, The \(n\)-Category Café という group blog ができている。また nLabというWiki
もできていて, 非常に活発である。 最近では, Lurie が Kerodon という project を始めた。Stacks project
で行なわれていることを, Lurie の仕事に対して行なうのが目的らしい。 Stacks project で使われている Gerby
というシステムを使っている。 まだ情報は少ないが, これからどんどん増えていくだろう。
\(n\)-Category Café に出た 記事の一つでは, \(n\)-category について以下の問題 (予想) が挙げられている。
Cobordism hypothesis と extended topological quantum field theory について は,
Hopkins と Lurie [Lur09b] により最近大きく進歩したようである。 これについては, Schommer-Pries の解説
[Sch14] を読むとよい。
\(n\)-category の解説としては, まず John Baez によるもの [Bae97] がある。 上記の Schommer-Pries の解説も
Baez らに従ったもので, 前半は homotopy hypothesis, stabilization hypothesis, 特に cobordism
hypothesis を中心に書かれている。その Baezと May が編集した “Towards higher categories” という本
[BM10] (論文集) もある。 そこに収録されている論文は全て nLab のページから download できる。これは,
MathOverflowのこの質問 に対する May の回答で知った。
Ronald Brown の website には, “higher dimensional algebra” に関する情報がある。
本もいくつか出てきた。Lurie の higher topos theory に関する本 [Lur09a]も高次の圏の解説を含んでいる。Simpson
の本 [Sim12] のアプローチは, Lurie の本に近い。 出版されたものから part V が抜けたものであるが, そのarXiv版
[Simc] もある。 Baez と Shulman の解説 [BS10]は, コホモロジーなどの代数的トポロジーの道具を \(n\)-category
の視点から見ようというものである。Baez と Lauda の [BL11] は, 数理物理で高次の圏の概念がどのように登場したかを,
年代順に解説してあり面白い。 Eugenia Chengのweb site から download できる Cheng と Lauda による
guide book には, 様々な \(n\)-category の定義の比較がある。 そう, 一口に高次の圏と言っても様々な定義があるのである。
まずは, \((n-1)\)-category で enrichされた category として帰納的に定義されるものがある。正確には strict
\(n\)-category と呼ばれるものである。この意味の \(n\)-category は, \((n-1)\)-category の “categorification”
とみなすこともできる。
-
strict \(n\)-category の定義
この意味の \(n\)-category は, 代数的トポロジーを少しでも齧ったことのある人なら簡単に理解できるだろう。 位相空間 (object \(=\)
\(0\)-morphism) と連続写像 (morphism \(=\) \(1\)-morphism) とホモトピー(\(2\)-morphism)の成すものが典型的な \(2\)-category
の例である。 ただしホモトピーはパラメーターの長さが\(1\)とは限らないもので, ホモトピーの結合は長さを保つ結合である。つまり Moore loop
space の類似である。
Baezの解説にも書かれているように, この strict \(n\)-category の条件はちょっときつすぎる。実際の問題に現われるのは,
もっと弱い意味の higher category なのである。 ところが問題は, strict \(n\)-category の条件をどのように弱めるかについて,
様々な選択肢があることである。 このことについては Leinster の論説 [Lei02] を読むとよい。Leinsterは,
高次の圏について様々な解説を書いていて, 高次の圏に関連した分野の全体像を得るのに非常に役に立つ。 Leinster が扱っている10の定義の他にも,
Mayが提案している operad を用いたものがある。 May のホームページから download できる “ Operadic
categories, \(A_{\infty }\) categories, and \(n\)-categories” というものである。Simpson は, [Simb] で Dwyer-Kan
localization を用いて様々な \(n\)-category の比較をしている。また Toën は高次の圏の一意性の証明のために, [Toë05] で
“theory of \((1,\infty )\)-category” の概念を導入している。 最近では, Lurie の \(\infty \)-category あるいは \((\infty ,1)\)-category
という呼び方の方が定着しているようであるが。更に, identity morphism の概念を弱めるというアイデアもある。Joachim Kock
の [Koc06] である。他にも, category object を取るという操作を繰り返して, 高次の圏を作るというアイデアもある。Fiore と
Paoli [FP10] は \(n\)-fold category と呼んでいる。
これらの様々な試みで, operad は重要な役割を果たしている。E. Cheng は [Che11] で operad を用いて定義された
Trimble の \(n\)-category と Batanin の \(n\)-category [Bat98] の比較を行っている。 Maltsiniotis の [Mal]
によると, Batanin のものは, Grothendieck が “Pursuing Stacks” の中で考えた \(\infty \)-groupoid
とかなり近いようである。
- Grothendieck の \(\infty \)-groupoid
Grothendieck の \(\infty \)-groupoid については, Ara の [Araa] をまず見てみるのがよいと思う。Ara は, [Arab] で
strict \(\infty \)-groupoid との比較も行なっている。
また opetope という概念も有用であるらしい。
Opetope は, Baez と Dolan [BD98] により, weak \(n\)-category を近似するために導入された。 他にも
[Che04; Che03; Koc+10] などの文献がある。 Leinster の本 [Lei04] にも解説がある。 その一般化として, actad
というものを Sophie Kriz [Kri] が導入している。
Topological quantum field theory で使うことを考えたものとして, Smyth と Woolf [SW] の
Whitney \(n\)-category というものがある。同様に topological quantum field theory で使うために考えられたのが
Feshbach と Voronov [FV] の pseudo \(n\)-category である。
一般の \(n\)-category は, このような理由で, まだ誰でも使える道具であるとは言えないが, \(2\)-category は既に様々な分野に使われている。その次の
\(3\)-category は, Cheng と Makkai の [CM09] の introduction にもあるように, 問題が多い。Gordon と
Power と Street の tricategory [GPS95] をはじめとして, いくつかモデルは考えられているが。Hoffnung [Hof]
によると, その次の tetracategory の定義は, 1995年の Trimble の Street への手紙に書かれているらしい。幸い, この
Hoffnung の論文にその定義が再録されている。
Weak \(2\)-category (bicategory) と weak \(3\)-category (tricategory) の最大の違いは, 前者は strict
\(2\)-category に置き換えることができるのに対し, 後者はできないことにある。Weak \(3\)-category は, Gray category
にしかできないのである。より高次の圏を考えるときには, この Gray category の概念を一般化しなければならないが, それを
multitensor という概念により考えているのが, Weber らの仕事 [BW11; Web13; Web; BCW]
である。
\(n \rightarrow \infty \) とすると, \(\infty \)-category または \(\omega \)-category という概念が得られる。 “\(\infty \)-category” という用語は, Lurie の影響で,
最近では \((\infty ,1)\)-category の意味で使われることが多いが。 \(\omega \)-category は Street により [Str87] で導入されたものである。その後,
Street は weak \(\omega \)-category も定義している。
- strict \(\omega \)-category
- weak \(\omega \)-category [Str03]
- oriental
\(\omega \)-category には様々な解釈があるが、 Steiner [Ste04] によると, strict \(\omega \)-category は chain complex
上の或る種の functor とみなすのが自然なようである。また Steiner は [Ste07b] で, strict \(\omega \)-category の full
subcategory である Joyal の \(\Theta \) についても, chain complex を用いた解釈を与えている。
Rezk は, [Rez10] で, その Joyal の \(\Theta \) を用いた weak \(n\)-category の定義を提案している。
Street の論文のタイトルにもある oriented simplex は, oriental とも呼ばれ, \(\omega \)-category
と関係が深いものである。Steiner が [Ste07a] で oriental の圏を考えている。Aitchison の [Ait] によると, Street の
motivation は Roberts [Rob79] による relativistic qunatum field theory の formulation
のためのものだったようである。Aitchison はcube版を考えている。
Street が strict \(n\)-category を調べるために [Str76] で考えた computad という概念は, Batanin [Bat]
らにより weak \(n\)-category に使えるように拡張されている。同じものは Burroni や Métayer [Mét03] が
polygraph という名前で使っているようである。 Métayer は [Mét] で globular set に基づいた \(\infty \)-category の圏での
cofibration (とtrivial fibration) を, polygraph を用いて定義している。
Hermida らにより[HMP02] で導入された multitopic set は, Harnik らの [HMZ] によると computad
の multicategory版のようである。
- computad あるいは polygraph
- multitopic set
\(\omega \)-category に対し, nerve を構成しようという試みもある。Simplicial nerve については Verity の [Ver08],
cubical nerve については Steiner らの [ABS02] や [Ste06] などがある。
Verity の論文の title にある complicial set は, 1970年代半ばに数理物理学者の John Roberts
により考えられたものらしい。
C. Simpson は [Sima] で \(n\)-category での (co)limit について考えている。Homotopy (co)limit
との関係についても考えている。
別のアプローチとして double category を一般化した \(n\)-fold category を用いたものがある。Paoli [Paoa; Paod;
Paoc] により研究されている。
- weakly globular \(n\)-fold category
Paoli の [Paob]はその研究についてまとめたものであるが, Part I は higher category についての解説としても使える。
他にも, 無限次の圏の定義は色々ある。nerve を取る操作が small category の圏を simplicial set
の圏に埋め込んでいて, しかもその像が Kan complex とよく似た特徴付けを持つことに着目し, Kan complex
の定義を適当に弱めたもの, つまり weak Kan complexを, \(2\)次以上のmorphism が invertible である \(\infty \)-category
(\((\infty ,1)\)-category) として用いるというアイデアもある。より一般に, \(n\)次以上の morphism が invertible であることを仮定した,
\((\infty ,n)\)-category も考えられている。また, これらは “homotopy theory of homotopy theory” の model
とも考えられる。
groupoidや群などの特別な種類の small category の高次元化も考えられている。 そして, 表現論の高次版も調べられるよ
うになった。
高次の圏の応用としては, 最初に書いた topological quantum field theory や Lurie らの derived
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