高次の groupoid

高次の groupoid は, 代数的トポロジーでは, まずホモトピー型のモデルとしての役割がある。 いわゆる, homotopy hypothesis である。

• homotopy hypothesis

ただ homotopy hypothesis は数学的な statement ではないので, 何を意味するかは, それを解釈する人による。 まずは, Baez の [Bae] を読むのが良いと思う。

元々, Grothendieck [Gro] は, \(\infty \)-groupoid が位相空間のホモトピー型を表すのに使えると主張したわけであるが, その \(\infty \)-groupoid のモデルは色々ある。最も一般的なのは, Kan complex であるが。

• \(\infty \)-groupoid としての Kan complex

現在では, Gurski と Johnson と Osorno の [GJO19] にあるように, homotopy hypothesis は, 空間の homotopy \(n\)-type が weak \(n\)-groupoid で表される, という形が一般的なようである。

この “weak \(n\)-groupoid” の正しい定義を見付けるというのが, 高次の groupoid を研究する最大の動機だろう。

素朴なアイデアとしては, fundamental groupoid に道の homotopy の情報を \(2\)-morphism として追加することにより, fundamental \(2\)-groupoid (あるい は bigroupoid) を定義するというものがある。Stevenson の thesis [Ste00] や, Hardie, Kamps, Kieboomの [HKK01] など。

Crossed module と \(2\)-group や \(2\)-groupoid, そして homotopy \(2\)-type の関係については, Noohi の [Noo07] を見るとよい。Cisinski は, 更に, Batanin の weak \(\omega \)-groupoid を用いれば, 任意の CW複体のホモトピー型を表わすことができることを [Cis07] で示している。 Strict な higher groupoid ではダメであるが, Batanin の weak \(\omega \)-groupoid という概念 [Bat98] を使えば可能になるのである。 この辺のことについては, Maltsiniotis の [Mal] を見るとよい。

• connected homotopy \(2\)-type と crossed module の対応
• (not necessarily connected) homotopy \(2\)-type と \(2\)-groupoid の間の対応
• 任意の \(CW\)複体のホモトピー型は weak \(\omega \)-groupoid で表わされる

Noohi は, 更に, \(2\)-groupoid の間の morphism を考えるために, モデル圏としての構造を考え, そして cofibrant replacement により derived mapping space を考えるということを提案している。そのモデル構造は Moerdijk と Svensson により [MS93] で導入されたものである。

• \(2\)-groupoid の圏のモデル構造

Lack [Lac11] によると, homotopy \(3\)-type を考えるためには, strict \(3\)-groupoid ではなく Gray-groupoid を使うとよいようである。

• Gray-groupoid
• Gray-category の圏のモデル構造
• nerve functor は Gray-groupoid の model category と simplicial set の model category で \(3\)次より上のホモトピー群を消した model category との間の Quillen equivalence を与える

Biedermann は, [Bie08] で site 上の simplicial presheaf のモデル圏に対し, Bousfield-Friedlander の localization を用い, その \(n\)-truncation の構成を与えている。そしてそれは, simplicial groupoid に値を持つ presheaf の圏に翻訳することもできる。よって Biedermann の論文のタイトル通り homotopy \(n\)-type のホモトピー型を持つ空間のモデル圏を考えることができる, ということになる。

Tamsamani による weak \(n\)-groupoid を用いた homotopy \(n\)-type の記述 [Tam99] もある。Paoli は [Pao] で連結な空間を表す Tamsamani weak \(n\)-groupoid は, semistrict \(n\)-groupoid に同値であることを示している。

より古くは, Duskin [Dus79] の \(n\)-dimensional hypergroupoid というものもある。 Glenn [Gle82] によりコホモロジー類を表すために使われている。 他にも Blanc と Paoli [BP14] の \(n\)-typical \(n\)-fold groupoid もある。

• \(n\)-dimensional hypergroupoid
• \(n\)-typical \(n\)-fold groupoid

別の分野で高次の groupoid が現われる例としては, Etingof, Nikshych, Ostrik の [ENO10] に登場する Brauer-Picard groupoid がある。これは, ある bicategory から定義された \(3\)-groupoid である。 Mombelli の [Mom12] に書かれているように, 物性物理学でも似た構造が現れるようである。

別の方向では, Ehresmann [Ehr63] により導入された, double category の groupoid 版がある。

• double groupoid

Lie groupoid や topological groupoid の高次版も考えられている。最初に考えたのは, Henriques [Hen08] だろうか。del Hoyo と Trentinaglia [HT25] は, Henriques の論文の他に, Zhou の [Zhu09], Behrend と Getzler の [BG17], del Hoyo, Ortiz, Studzinski の [HOS] を参照している。

• Lie \(n\)-groupoid

アイデアは, やはり Kan complex を \(\infty \)-groupoid とみなすことの拡張であり, simplicial manifold で, ある種の Kan condition をみたすものとして定義される。

Double groupoid の Lie groupoid 版は, Mackenzie [Mac92; Mac00] により導入されている。

• double Lie groupoid

References

[Bae]

John Baez. The Homotopy Hypothesis. url: https://math.ucr.edu/home/baez/homotopy/.

[Bat98]

M. A. Batanin. “Monoidal globular categories as a natural environment for the theory of weak \(n\)-categories”. In: Adv. Math. 136.1 (1998), pp. 39–103. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1724.

[BG17]

Kai Behrend and Ezra Getzler. “Geometric higher groupoids and categories”. In: Geometry, analysis and probability. Vol. 310. Progr. Math. Birkhäuser/Springer, Cham, 2017, pp. 1–45. isbn: 978-3-319-49636-8; 978-3-319-49638-2. arXiv: 1508.02069. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-49638-2_1.

[Bie08]

Georg Biedermann. “On the homotopy theory of \(n\)-types”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.1 (2008), pp. 305–325. arXiv: math/0604514.

[BP14]

David Blanc and Simona Paoli. “Segal-type algebraic models of \(n\)-types”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.6 (2014), pp. 3419–3491. arXiv: 1204.5101. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.3419.

[Cis07]

Denis-Charles Cisinski. “Batanin higher groupoids and homotopy types”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 171–186. arXiv: math/0604442. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/431/08272.

[Dus79]

J. Duskin. “Higher-dimensional torsors and the cohomology of topoi: the abelian theory”. In: Applications of sheaves (Proc. Res. Sympos. Appl. Sheaf Theory to Logic, Algebra and Anal., Univ. Durham, Durham, 1977). Vol. 753. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 255–279.

[Ehr63]

Charles Ehresmann. “Catégories doubles et catégories structurées”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 256 (1963), pp. 1198–1201.

[ENO10]

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “Fusion categories and homotopy theory”. In: Quantum Topol. 1.3 (2010). With an appendix by Ehud Meir, pp. 209–273. arXiv: 0909.3140. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/6.

[GJO19]

Nick Gurski, Niles Johnson, and Angélica M. Osorno. “The 2-dimensional stable homotopy hypothesis”. In: J. Pure Appl. Algebra 223.10 (2019), pp. 4348–4383. arXiv: 1712.07218. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2019.01.012.

[Gle82]

Paul G. Glenn. “Realization of cohomology classes in arbitrary exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 25.1 (1982), pp. 33–105. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90094-9.

[Gro]

Alexander Grothendieck. Pursuing Stacks. arXiv: 2111.01000.

[Hen08]

André Henriques. “Integrating \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Compos. Math. 144.4 (2008), pp. 1017–1045. arXiv: math/0603563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003405.

[HKK01]

K. A. Hardie, K. H. Kamps, and R. W. Kieboom. “A homotopy bigroupoid of a topological space”. In: Appl. Categ. Structures 9.3 (2001), pp. 311–327. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1011270417127.

[HOS]

Matias del Hoyo, Cristian Ortiz, and Fernando Studzinski. On the cohomology of differentiable stacks. arXiv: 2410.02570.

[HT25]

Matias del Hoyo and Giorgio Trentinaglia. “Higher vector bundles”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 11 (2025), Paper No. rnaf128, 32. arXiv: 2109.01062. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnaf128.

[Lac11]

Stephen Lack. “A Quillen model structure for Gray-categories”. In: J. K-Theory 8.2 (2011), pp. 183–221. arXiv: 1001.2366. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010008014jkt127.

[Mac00]

K. C. H. Mackenzie. “Double Lie algebroids and second-order geometry. II”. In: Adv. Math. 154.1 (2000), pp. 46–75. arXiv: dg-ga/9712013. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1999.1892.

[Mac92]

Kirill C. H. Mackenzie. “Double Lie algebroids and second-order geometry. I”. In: Adv. Math. 94.2 (1992), pp. 180–239. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(92)90036-K.

[Mal]

Georges Maltsiniotis. Grothendieck \(\infty \)-groupoids, and still another definition of \(\infty \)-categories. arXiv: 1009.2331.

[Mom12]

Martín Mombelli. “On the tensor product of bimodule categories over Hopf algebras”. In: Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 82.2 (2012), pp. 173–192. arXiv: 1111.1610. url: https://doi.org/10.1007/s12188-012-0068-5.

[MS93]

Ieke Moerdijk and Jan-Alve Svensson. “Algebraic classification of equivariant homotopy \(2\)-types. I”. In: J. Pure Appl. Algebra 89.1-2 (1993), pp. 187–216. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90094-A.

[Noo07]

Behrang Noohi. “Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 75–106. arXiv: math/0512106. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1175791088.

[Pao]

Simona Paoli. Semistrict Tamsamani \(n\)-groupoids and connected \(n\)-types. arXiv: math/0701655.

[Ste00]

Danny Stevenson. “The Geometry of Bundle Gerbes”. PhD thesis. Adelaide University, 2000. arXiv: math/0004117.

[Tam99]

Zouhair Tamsamani. “Sur des notions de \(n\)-catégorie et \(n\)-groupoı̈de non strictes via des ensembles multi-simpliciaux”. In: \(K\)-Theory 16.1 (1999), pp. 51–99. arXiv: alg-geom/9512006. url: https://doi.org/10.1023/A:1007747915317.

[Zhu09]

Chenchang Zhu. “\(n\)-groupoids and stacky groupoids”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 21 (2009), pp. 4087–4141. arXiv: 0801.2057. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnp080.