Higher Representation Theory

代数的構造の表現を高次化するといったときには, 二つの段階がある。

まずは, 表現する代数的構造は古典的なもの, 例えば群のままで, 表現する場として 高次のベクトル空間などの, 高次の圏を用いることが考えられる。 そのような試みとして, Ganterと Kapranov の [GK08], Elgueta の [Elg07], Osorno の [Oso10] などがある。 高次のベクトル空間より良く知られた \(2\)-category の例としては, 例えば, 小圏の圏がある。 その上での群の表現は, 言い換えると群の圏への作用のことであるが。

• 高次のベクトル空間を用いた表現
• 群の圏への作用

Ganter と Kapranov によると, Hopkins と Kuhn と Ravenel の [HKR00] とも関係あるようで, 代数的トポロジーの視点からも興味深い。

関連した表現の一般化としては, commutative ring spectrum 上の module の category に値を持つ表現がある。そのような圏は, 古典的には model category として考えられてきたが, 最近は \((\infty ,1)\)-category と見なされることも多い。 よって, 高次の圏に値を持つ表現になる。そのような例として, complex \(K\)-theory の \(p\)-completion 上の module の圏での有限群の表現を調べた Treumann の [Tre] がある。

• commutative ring spectrum 上の module の圏での表現

また, \(G\)-spectrum の成す category を \(G\) の表現の圏の高次版とみなすという立場もある。Mathew, Naumann, Noel の [MNN19; MNN17] など。

• equivariant stable homotopy category

次の段階は, 表現する代数的構造も, 高次の圏の構造を持ったものにすることである。 当然表現する場も高次の圏になる。そのような例としては, Rouquier の [Rou; Rou12] で構成されている Kac-Moody Lie algebra の categorification の表現がある。

Rumynin と Wendland [RW18] は \(2\)-group の \(2\)-representation を調べている。 より一般に \(2\)-category の \(2\)-representation も調べられている。

• representation of \(2\)-category

Hopkins や Lurie の extended topological quantum field theory も高次の表現の一つである。

\((\infty ,1)\)-category を用いたものとしては, Barwick [Bar17] の spectral Mackey functor もある。

References

[Bar17]

Clark Barwick. “Spectral Mackey functors and equivariant algebraic \(K\)-theory (I)”. In: Adv. Math. 304 (2017), pp. 646–727. arXiv: 1404. 0108. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.08.043.

[Elg07]

Josep Elgueta. “Representation theory of 2-groups on Kapranov and Voevodsky’s 2-vector spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 53–92. arXiv: math/0408120. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.11.010.

[GK08]

Nora Ganter and Mikhail Kapranov. “Representation and character theory in 2-categories”. In: Adv. Math. 217.5 (2008), pp. 2268–2300. arXiv: math/0602510. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.10.004.

[HKR00]

Michael J. Hopkins, Nicholas J. Kuhn, and Douglas C. Ravenel. “Generalized group characters and complex oriented cohomology theories”. In: J. Amer. Math. Soc. 13.3 (2000), 553–594 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-00-00332-5.

[MNN17]

Akhil Mathew, Niko Naumann, and Justin Noel. “Nilpotence and descent in equivariant stable homotopy theory”. In: Adv. Math. 305 (2017), pp. 994–1084. arXiv: 1507 . 06869. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.09.027.

[MNN19]

Akhil Mathew, Niko Naumann, and Justin Noel. “Derived induction and restriction theory”. In: Geom. Topol. 23.2 (2019), pp. 541–636. arXiv: 1507 . 06867. url: https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.541.

[Oso10]

Angélica M. Osorno. “Explicit formulas for 2-characters”. In: Topology Appl. 157.2 (2010), pp. 369–377. arXiv: 0904.4414. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2009.09.005.

[Rou]

Raphael Rouquier. 2-Kac-Moody algebras. arXiv: 0812.5023.

[Rou12]

Raphaël Rouquier. “Quiver Hecke algebras and 2-Lie algebras”. In: Algebra Colloq. 19.2 (2012), pp. 359–410. arXiv: 1112.3619. url: https://doi.org/10.1142/S1005386712000247.

[RW18]

Dmitriy Rumynin and Alex Wendland. “2-groups, 2-characters, and Burnside rings”. In: Adv. Math. 338 (2018), pp. 196–236. arXiv: 1604.02926. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.09.003.

[Tre]

David Treumann. Representations of finite groups on modules over \(K\)-theory (with an appendix by Akhil Mathew). arXiv: 1503.02477.