3-Dimensional Categorical Structures

\(2\)-category や bicategory は, 様々な場面で使われるようになったが, その次の \(3\)-category や tricategory は, まだあまり一般的ではないようである。Cheng と Makkai の [CM09] の introduction にもあるように, その定義に問題が多いからだろう。

最も受け入れられている定義は, Gordon と Power と Street のものだろうか。

• Gordon-Power-Street の tricategory

Monoidal structure を持つ bicategory を定義するためには, object が1つの “\(3\)-category” と考えるのが, 1つの方法であるが, このように, 2次元の categorical structure に, ある構造を付加すると3次元の categorical structure が得られることが多い。 そのような 3次元の categorical structure を統一的に扱うために, Grandis と Paré [GP; PG] は intercategory という構造を導入している。 それは Ehresmann [Ehr63] により導入された triple category のある種のweak版のようである。

• triple category
• intercategory

Triple category とは, double category の圏での category object のことである。Double category 自体が category の圏での category object なので, category object を取る操作を2回繰り返したものである。

一方, Böhm は [Böh] は, double category の category に Gray-tensor product のような monoidal structure を定義している。 その枠組みでの intercategory の類似について, Femić が [Fem] で考えている。

References

[Böh]

Gabriella Böhm. The Gray monoidal product of double categories. arXiv: 1901.10707.

[CM09]

Eugenia Cheng and Michael Makkai. “A note on the Penon definition of \(n\)-category”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 50.2 (2009), pp. 83–101. arXiv: 0907.3961.

[Ehr63]

Charles Ehresmann. “Catégories structurées”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (3) 80 (1963), pp. 349–426.

[Fem]

Bojana Femić. Alternative notion to intercategories: part I. A tricategory of double categories. arXiv: 2010.06673.

[GP]

Marco Grandis and Robert Paré. Intercategories. arXiv: 1412.0144.

[PG]

Robert Paré and Marco Grandis. Intercategories: A framework for three-dimensional category theory. arXiv: 1412.0212.