Vertex algebra の一般化も色々考えられている。 まず Beilinson と Drinfeld の chiral algebra
というものがある。長らく preprint として Ben-Zvi の web site で公開されていたが, 最近 AMS から出版 [BD04]
された。
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chiral algebra
- factorization algebra
- oper
Edward Frenkel と Ben-Zvi の [FB04] では, chiral algebra の解説として Gaitsgory の [Gai99]
が勧められている。
Edward Frenkel は, chiral algebra や oper やその他関係したことを [Fre07] にまとめている。主題は
Langlands program とその conformal field theory からの approach であるが。
Bakalov と Kac の generalized vertex algebra に関する解説 [BK] によると, vertex algebra は,
本質的には\(2\)次元 conformal field theory における chiral algebra に他ならない, らしい。 Bakalov
は, 高次元の conformal field theory に対応する vertex operator algebra の一般化を [Bak]
で考えている。
Huang [Hua00] による intertwining operator algebra というのもある。Chen の [Che]
を見るとよい。
- intertwining operator algebra
Beilinson と Drinfel\('\)d は chiral Poisson algebra という構造も定義しているが, Barakat と De Sole と
Kac [BSK] の Poisson vertex algebra はその local 版らしい。まずは, De Sole と Kac と Wakimoto
の [SKW] の Introduction を読んでみるとよいと思う。
- Poisson vertex algebra
- chiral Poisson algebra
Beilinson と Drinfeld の理論は, Francis と Gaitsgory [FG12] により, より高次元の代数多様体上の理論に拡張されている。
代数多様体上の vertex algebra の sheaf を考えることもできる。Malikov と Schechtman と Vaintrob
[MSV99; MS99] は smooth variety 上に chiral de Rham complex という vertex
superalgebra の sheaf を導入した。
Vertex algebroid については, Bressler の [Brea; Breb] という文献がある。Bressler は, それらを含む新しい
version として [Bre07] を書いている。
他にも, quantum vertex operator algebra や quantum vertex algebra [Bor01]
などといった概念も考えられている。そのような quantum affine algebra などから作られる vertex algebra
様のものについて調べ始めた人 [Li05] もいる。
Lian と Zuckerman は, quantum operator algebra と vertex operator algebra
のギャップを埋めるものを [LZ95] で考えている。 関連した概念として, Roitman が [Roi99] で様々な代数の conformal
version を考えている。
Li [Li] は, quantum vertex algebra に関連した概念として, formal group law を用いた
\(\phi \)-coordinated quasi module という概念を導入している。 その後, [Li11] で, formal group law \(F\) を用いた
vertex \(F\)-algebra を導入している。
Algebra の双対概念として coalgebra があるが, Hubbard が vertex operator coalgebra [Hubb;
Huba] や vertex coalgebra [Hubc] という概念を考えている。
- vertex operator coalgebra と vertex coalgebra
Lie algebra の一般化が色々考えられているので, それに対応する vertex algebra の一般化を考えるのも自然である。例えば,
[LTW] では, Leibniz algebra の類似が考えられている。
References
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[Bak]
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