Equivariant Infinite Loop Spaces

無限ループ空間の理論を 群の作用を持つ場合に拡張することは, かなり古くから考えられている。

例えば, Segal の \(\Gamma \)-space の equivariant 版を考えたものとして, Shimakawa の [Shi89], Santhanam の [San11], Bergner と Hackney の [BH17], そして Ostermayr の [Ost16] などがある。

Ostermayr によると Segal 自身も考えていたようである。未発表であるが。 Cnossen, Haugseng, Lenz, Linskens の [Cno+] では, Segal の他に Hauschild と May と Waner の未発表の仕事も挙げられている。

Santhanam は, model category の構造を考えている。Ostermayr は, monoidal structure を考えている。

Ostermayr [Ost16] は equivariant \(\Gamma \)-space の category が, equivariant connective symmetric spectrum の categoryと (適当な model structure の下で) Quillen 同値であることを示しているが, Santhanam [San] は, equivariant connective orthogonal spectrum の category とも Quillen同値であることを示している。

最近の状況については, May, Merling, Osorno の [MMO] の Introduction and Preliminaries や Cnossen, Haugseng, Lenz, Linskens の [Cno+] の Introduction を見るとよいと思う。

Cnossen らの論文では, 最近の renaissance については, May 達の仕事 [GM24; GM17; MMO] が参照されている。 また \(\infty \)-categorical approach については, Barwick の仕事 [Bar17; Bar+] が参照されている。

Cnossen らも \(\infty \)-categorical な書き方をしているが, そのような書き方は, infinite loop space の複雑な構造を見えなくしてしまうので, 素人が見ると誤解しそうな気がする。

例えば, May の recognition principle は, \(E_{\infty }\)-operad の作用と infinite loop space の構造が対応することを言っているが, \(\infty \)-categorical な書き方をすると, \(E_{\infty }\)-operad の作用を持つ空間は, 「空間の category」の commutative group object になってしまう。可換な位相群と誤解しそうである。 もちろん「空間の category」は「Kan complex の成す quasicategory」 のことであり, 可換というのは \(E_{\infty }\) の意味での可換であるが。

もちろん, ただでさえ infinite loop space は複雑なので, 更に群の作用を持つような場合は, \(\infty \)-categorical に書かないと, あまりにも複雑になりすぎる, というのは分かるが。

References

[Bar+]

Clark Barwick, Emanuele Dotto, Saul Glasman, Denis Nardin, and Jay Shah. Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé I – Elements of parametrized higher category theory. arXiv: 1608.03657.

[Bar17]

Clark Barwick. “Spectral Mackey functors and equivariant algebraic \(K\)-theory (I)”. In: Adv. Math. 304 (2017), pp. 646–727. arXiv: 1404.0108. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.08.043.

[BH17]

Julia E. Bergner and Philip Hackney. “Diagrams encoding group actions on \(\Gamma \)-spaces”. In: Manifolds and \(K\)-theory. Vol. 682. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, pp. 39–50. arXiv: 1212.4542. url: https://doi.org/10.1090/conm/682.

[Cno+]

Bastiaan Cnossen, Rune Haugseng, Tobias Lenz, and Sil Linskens. Normed equivariant ring spectra and higher Tambara functors. arXiv: 2407.08399.

[GM17]

Bertrand J. Guillou and J. Peter May. “Equivariant iterated loop space theory and permutative \(G\)-categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.6 (2017), pp. 3259–3339. arXiv: 1207.3459. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.3259.

[GM24]

Bertrand J. Guillou and J. Peter May. “Models of G–spectra as presheaves of spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.3 (2024), pp. 1225–1275. arXiv: 1110.3571. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.1225.

[MMO]

J. Peter May, Mona Merling, and Angélica M. Osorno. Equivariant infinite loop space theory, I. The space level story. arXiv: 1704.03413.

[Ost16]

Dominik Ostermayr. “Equivariant \(\Gamma \)-spaces”. In: Homology Homotopy Appl. 18.1 (2016), pp. 295–324. arXiv: 1404.7626. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n1.a16.

[San]

Rekha Santhanam. A short treatise on Equivariant Gamma spaces. arXiv: 1505.02894.

[San11]

Rekha Santhanam. “Units of equivariant ring spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.3 (2011), pp. 1361–1403. arXiv: 0912.4346. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.1361.

[Shi89]

Kazuhisa Shimakawa. “Infinite loop \(G\)-spaces associated to monoidal \(G\)-graded categories”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 25.2 (1989), pp. 239–262. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195173610.