単体的対象の一般化や変種

ある圏\(\bm{C}\)における単体的対象とは, 単に関手 \[ X : \Delta ^{\op } \longrightarrow \bm{C} \] のことだから, 圏\(\Delta \)を別のsmall categoryに変えれば, 様々な一般化や 変種を作ることができる。

まず, simplicial object の直積などを考えるときに使うものとして以下があ る。

他には, 以下のようなものがある:

Dendroidal objectは small categoryと simplicial setの関係を multicategory へ一般化するために導入されたものであるが, properadic graphical objectは, それを更にproperadへ一般化するものとしてHackneyらの本[HRY]で 導入された。

Duplicial objectは, 簡単に言えばsimplicial objectにもう一つdegeneracyを 付け加え, cosimplicial objectとも思えるようにしたものである。DwyerとKan により[DK85]でConnesのcyclic objectを考えるために導入された。 Cyclic objectはduplicial objectにrelationを付け加えたものと思える。 Garner と Lack と Slevin の [GLS]でcategory theoryの視点か ら調べられている。

Permutohedral object は, その名の通り permutohedronの構造から定義される小圏からの 関手として定義される。

Joyal の \(\Theta _n\) は \(\Delta \) の iterated wreath product により定義されるものである。 Berger の [Ber07] や Rezk の [Rez10] で使われている。

Schlichtkrull と Solberg の \(\mathfrak{B}\)-object [SS] は braided monoidal categorydouble loop space の homotopy commutative な構造を rectify するために導入された。

Simplicial set の定義を face operator だけに限定したものを考えることもある。 \(\Delta \)-set と呼ばれることもあるが他の呼び方で呼ばれることも多い。 Rourke と Sanderson は, Fenn とのrack の分類空間に関する共 著[FRS07] の中で, degeneracy を持たない cubical set を \(\Box \)-set と呼んで用いている。

\(\Delta \)-set は, \(\Delta \) の morphism を単射なものだけに制限したものから集合の圏への contravariant functor と考え られるが, 逆に, \(\Delta \) に morphism を追加することも考えられている。特に, 順序を無視した全ての写像を考えたものを symmetric simplcial set という。

  • symmetric simplicial set

文献としては, Grandisの [Gra01a; Gra01b], RosickyとTholen の[RT03; RT08] などがある。 Roberts, Ruzzi, Vasselli の [RRV09] にも現れる。

Rodriguez Gonzalezは thesis [Gon; Rod12] でsimplicial descent categoryという概念を考え ている。幾何学的実現のようなfunctorを持つsimplicial objectの圏のようであ る。

このような様々な variation を統一して扱う方法として, quiver の表現を使う ことを Fei が [Fei] で提案している。\(\Delta \), \(\Box \), そして cyclic category \(\Lambda \) を統一して扱えるようで興味深い。

Simplicial object の定義に用いられる有限全順序 集合の (同型類の) 圏 \(\Delta \) を単なる有限集合の圏に変えることも考えられている。 例えば, Church, Ellenberg, Farb [CEF15] は有限集合と単射のなす 圏 \(\category{FI}\) を用いて FI-moduleの概念を定義した。

このように定義域のsmall categoryを色々取り替えても, ホモトピー圏を取る と多くの場合 CW 複体のホモトピー圏と同値になる。 Cisinskiのthesis [Cis06]によると Grothendieck が “Pursuing Stacks” で導入した test category という概念は, そのような小圏の class である。

他に, higher category theory で使われる simplicial set の variation として, 以下のものがある。

最初の2つについては, Streetの [Str87; Str03] や Joyal の [Joy02], そして Verity の [Ver08b; Ver08a; Ver07] が主な文献である。

Simplicial setがsingular homologyと密接に関係しているように, Borel-Moore homologyに対応するsimplicial setの類似を考えているのはLuu [Luu]である。

  • simplicial controlled set

References

[Bat98]

M. A. Batanin. “Monoidal globular categories as a natural environment for the theory of weak \(n\)-categories”. In: Adv. Math. 136.1 (1998), pp. 39–103. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1724.

[Ber07]

Clemens Berger. “Iterated wreath product of the simplex category and iterated loop spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 230–270. arXiv: math/0512575. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.006.

[CEF15]

Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, and Benson Farb. “FI-modules and stability for representations of symmetric groups”. In: Duke Math. J. 164.9 (2015), pp. 1833–1910. arXiv: 1204.4533. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-3120274.

[Cis06]

Denis-Charles Cisinski. “Les préfaisceaux comme modèles des types d’homotopie”. In: Astérisque 308 (2006), pp. xxiv+390.

[Con83]

Alain Connes. “Cohomologie cyclique et foncteurs \(\mathrm{Ext}^{n}\)”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296.23 (1983), pp. 953–958.

[DK85]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Normalizing the cyclic modules of Connes”. In: Comment. Math. Helv. 60.4 (1985), pp. 582–600. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02567433.

[Fei]

Jiarui Fei. Categorical Homotopy I. Quivers. arXiv: 1211.5789.

[FRS07]

Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “The rack space”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.2 (2007), pp. 701–740. arXiv: math/0304228. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03912-2.

[Fut]

Carl A. Futia. Weak Omega Categories I. arXiv: math/0404216.

[GLS]

Richard Garner, Stephen Lack, and Paul Slevin. Hochschild homology, lax codescent, and duplicial structure. arXiv: 1510.08925.

[Gon]

Beatriz Rodriguez Gonzalez. Simplicial Descent Categories. arXiv: 0804.2154.

[Gra01a]

Marco Grandis. “Finite sets and symmetric simplicial sets”. In: Theory Appl. Categ. 8 (2001), pp. 244–252.

[Gra01b]

Marco Grandis. “Higher fundamental functors for simplicial sets”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 42.2 (2001), pp. 101–136.

[HRY]

Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. Infinity Properads and Infinity Wheeled Properads. arXiv: 1410.6716.

[Joy02]

A. Joyal. “Quasi-categories and Kan complexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 175.1-3 (2002). Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly, pp. 207–222. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00135-4.

[Luu]

Viêt-Trung Luu. A simplicial model for proper homotopy types. arXiv: 0812.1138.

[Moi]

Kristian Jonsson Moi. Equivariant loops on classifying spaces. arXiv: 1303.4528.

[MW07]

Ieke Moerdijk and Ittay Weiss. “Dendroidal sets”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 1441–1470. arXiv: math/0701293. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.1441.

[MW09]

I. Moerdijk and I. Weiss. “On inner Kan complexes in the category of dendroidal sets”. In: Adv. Math. 221.2 (2009), pp. 343–389. arXiv: math/0701295. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.12.015.

[Prz11]

Józef H. Przytycki. “Distributivity versus associativity in the homology theory of algebraic structures”. In: Demonstratio Math. 44.4 (2011), pp. 823–869. arXiv: 1109.4850.

[Prz15]

Józef H. Przytycki. “Knots and distributive homology: from arc colorings to Yang-Baxter homology”. In: New ideas in low dimensional topology. Vol. 56. Ser. Knots Everything. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2015, pp. 413–488. arXiv: 1409.7044. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814630627_0011.

[Rez10]

Charles Rezk. “A Cartesian presentation of weak \(n\)-categories”. In: Geom. Topol. 14.1 (2010), pp. 521–571. arXiv: 0901.3602. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.521.

[Rod12]

Beatriz Rodrı́guez González. “Simplicial descent categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.4 (2012), pp. 775–788. arXiv: 0808.3684. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.10.003.

[RRV09]

John E. Roberts, Giuseppe Ruzzi, and Ezio Vasselli. “A theory of bundles over posets”. In: Adv. Math. 220.1 (2009), pp. 125–153. arXiv: 0707.0240. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.08.004.

[RSa]

Manuel Rivera and Samson Saneblidze. A combinatorial model for the free loop fibration. arXiv: 1712.02644.

[RSb]

Manuel Rivera and Samson Saneblidze. A combinatorial model for the path fibration. arXiv: 1706.00983.

[RT03]

J. Rosický and W. Tholen. “Left-determined model categories and universal homotopy theories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 355.9 (2003), pp. 3611–3623. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03322-1.

[RT08]

J. Rosický and W. Tholen. “Erratum to: “Left-determined model categories and universal homotopy theories” [Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 9, 3611–3623; MR1990164]”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.11 (2008), p. 6179. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04727-2.

[SS]

Christian Schlichtkrull and Mirjam Solberg. Braided injections and double loop spaces. arXiv: 1403.1101.

[Str03]

Ross Street. “Weak omega-categories”. In: Diagrammatic morphisms and applications (San Francisco, CA, 2000). Vol. 318. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003, pp. 207–213.

[Str87]

Ross Street. “The algebra of oriented simplexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 49.3 (1987), pp. 283–335. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90137-X.

[SU04]

Samson Saneblidze and Ronald Umble. “Diagonals on the permutahedra, multiplihedra and associahedra”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 363–411. arXiv: math/0209109. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839559.

[Ver07]

Dominic Verity. “Weak complicial sets. II. Nerves of complicial Gray-categories”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 441–467. arXiv: math/0604416. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/431/08284.

[Ver08a]

D. R. B. Verity. “Weak complicial sets. I. Basic homotopy theory”. In: Adv. Math. 219.4 (2008), pp. 1081–1149. arXiv: math/0604414. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.06.003.

[Ver08b]

Dominic Verity. “Complicial sets characterising the simplicial nerves of strict \(\omega \)-categories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.905 (2008), pp. xvi+184. arXiv: math/0410412.