ある圏\(\bm{C}\)における単体的対象とは, 単に関手 \[ X : \Delta ^{\op } \longrightarrow \bm{C} \] のことだから, 圏\(\Delta \)を別のsmall categoryに変えれば, 様々な一般化や
変種を作ることができる。
まず, simplicial object の直積などを考えるときに使うものとして以下があ る。
他には, 以下のようなものがある:
Dendroidal objectは small categoryと simplicial setの関係を multicategory へ一般化するために導入されたものであるが,
properadic graphical objectは, それを更にproperadへ一般化するものとしてHackneyらの本[HRY]で
導入された。
Duplicial objectは, 簡単に言えばsimplicial objectにもう一つdegeneracyを 付け加え, cosimplicial
objectとも思えるようにしたものである。DwyerとKan により[DK85]でConnesのcyclic objectを考えるために導入された。
Cyclic objectはduplicial objectにrelationを付け加えたものと思える。 Garner と Lack と Slevin の
[GLS]でcategory theoryの視点か ら調べられている。
Permutohedral object は, その名の通り permutohedronの構造から定義される小圏からの 関手として定義される。
Joyal の \(\Theta _n\) は \(\Delta \) の iterated wreath product により定義されるものである。 Berger の [Ber07] や Rezk の
[Rez10] で使われている。
Schlichtkrull と Solberg の \(\mathfrak{B}\)-object [SS] は braided monoidal category や double loop
space の homotopy commutative な構造を rectify するために導入された。
Simplicial set の定義を face operator だけに限定したものを考えることもある。 \(\Delta \)-set
と呼ばれることもあるが他の呼び方で呼ばれることも多い。 Rourke と Sanderson は, Fenn とのrack の分類空間に関する共
著[FRS07] の中で, degeneracy を持たない cubical set を \(\Box \)-set と呼んで用いている。
\(\Delta \)-set は, \(\Delta \) の morphism を単射なものだけに制限したものから集合の圏への contravariant functor と考え られるが,
逆に, \(\Delta \) に morphism を追加することも考えられている。特に, 順序を無視した全ての写像を考えたものを symmetric simplcial
set という。
文献としては, Grandisの [Gra01a; Gra01b], RosickyとTholen の[RT03; RT08] などがある。
Roberts, Ruzzi, Vasselli の [RRV09] にも現れる。
Rodriguez Gonzalezは thesis [Gon; Rod12] でsimplicial descent categoryという概念を考え
ている。幾何学的実現のようなfunctorを持つsimplicial objectの圏のようであ る。
このような様々な variation を統一して扱う方法として, quiver の表現を使う ことを Fei が [Fei] で提案している。\(\Delta \), \(\Box \), そして
cyclic category \(\Lambda \) を統一して扱えるようで興味深い。
Simplicial object の定義に用いられる有限全順序 集合の (同型類の) 圏 \(\Delta \) を単なる有限集合の圏に変えることも考えられている。
例えば, Church, Ellenberg, Farb [CEF15] は有限集合と単射のなす 圏 \(\category{FI}\) を用いて FI-moduleの概念を定義した。
このように定義域のsmall categoryを色々取り替えても, ホモトピー圏を取る と多くの場合 CW 複体のホモトピー圏と同値になる。
Cisinskiのthesis [Cis06]によると Grothendieck が “Pursuing Stacks” で導入した test category
という概念は, そのような小圏の class である。
他に, higher category theory で使われる simplicial set の variation として, 以下のものがある。
最初の2つについては, Streetの [Str87; Str03] や Joyal の [Joy02], そして Verity の [Ver08b;
Ver08a; Ver07] が主な文献である。
Simplicial setがsingular homologyと密接に関係しているように, Borel-Moore homologyに対応するsimplicial
setの類似を考えているのはLuu [Luu]である。
- simplicial controlled set
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