単体的対象の一般化や変種

ある圏 \(\bm {C}\) における単体的対象とは, 単に関手 \[ X : \Delta ^{\op } \longrightarrow \bm {C} \] のことだから, 圏 \(\Delta \) を別の small category に変えれば, 様々な一般化や変種を作ることができる。

最もよく使うのは, 単射の成す \(\Delta \) 部分圏 \(\Delta _{\mathrm {inj}}\) だろう。関手 \(\Delta _{\mathrm {inj}}^{\op }\to \category {Set}\) は, \(\Delta \)-set とか semisimplicial set などと呼ばれる。 Simplicial set の定義を face operator だけに限定したものである。

• \(\Delta \)-set あるいは semisimplicial set

\(\Delta \)-set は, \(\Delta \) の morphism を単射なものだけに制限したものであるが, 逆に, \(\Delta \) に morphism を追加することも考えられている。特に, 順序を無視した全ての写像を考えたものを symmetric simplcial set という。

• symmetric simplicial set

文献としては, Grandisの [Gra01a; Gra01b], Rosicky と Tholen の [RT03; RT08] などがある。 Roberts, Ruzzi, Vasselli の [RRV09] にも現れる。

単射に制限したものは, tropical curve の moduli space の研究 [CGP21; ACP22] などに現れ, そこでは symmetric \(\Delta \)-complex と呼ばれている。Symmetric semisimplicial set と呼ぶべきだと思うが。

より一般の圏では, Church, Ellenberg, Farb [CEF15] FI-object の概念を導入している。

• FI-object と co-FI-object

次に良く目にするのは, simplicial object の直積などを考えるときに使うものだろう。

• bisimplicial object
• prismatic set
• cubical object

Rourke と Sanderson は, Fenn との rack の分類空間に関する共著 [FRS07] の中で, degeneracy を持たない cubical set を \(\Box \)-set と呼んで用いている。

• \(\Box \)-set

Small category と simplicial set の関係を multicategory へ一般化するために導入されたものとして, dendroidal object がある。 それを更に properad へ一般化するものとして Hackney らの本 [HRY15] で properadic graphical object が導入されている。

• dendroidal object
• properadic graphical object [HRY15]

Cyclic homology のために, Connes [Con83] が導入したのが cyclic object であるが, 関連した構造として, duplicial object がある。Dwyer と Kan により, [DK85] で導入された。 Duplicial object は, 簡単に言えば simplicial object にもう一つ degeneracy を付け加え, cosimplicial object とも思えるようにしたものである。 Cyclic object は duplicial object に relation を付け加えたものと思える。 Garner と Lack と Slevin の [GLS18] でcategory theory の視点から調べられている。

• cyclic object
• duplicial object [DK85]

他には, 以下のようなものがある:

• globular object [Bat98; Fut]
• permutohedaral object [SU04]
• Joyalの \(\Theta _n\)
• involution を持つ simplicial object [Moi20]
• weak simplicial objectや weak-pseudo-simplicial object [Prz11; Prz15]
• \(\mathfrak {B}\)-object [SS16]
• necklical object [RS19] や closed necklical object [RS18]
• category of finite strings [Kra]

Permutohedral object は, その名の通り permutohedron の構造から定義される小圏からの関手として定義される。

Schlichtkrull と Solberg の \(\mathfrak {B}\)-object [SS16] は, braided monoidal category や double loop space の homotopy commutative な構造を rectify するために導入された。

Rodriguez Gonzalezは thesis [Gon; Rod12] で simplicial descent categoryという概念を考えている。幾何学的実現のような functor を持つ simplicial object の圏のようである。

このような様々な variation を統一して扱う方法として, quiver の表現を使うことを Fei が [Fei] で提案している。\(\Delta \), \(\Box \), そして cyclic category \(\Lambda \) を統一して扱えるようで興味深い。

このように定義域のsmall categoryを色々取り替えても, ホモトピー圏を取る と多くの場合 CW 複体のホモトピー圏と同値になる。 Cisinski の thesis [Cis06] によると Grothendieck が “Pursuing Stacks” で導入した test category という概念は, そのような小圏の class である。

• test category

他に, higher category theory で使われる simplicial set の variation として, 以下のものがある。

• stratified simplicial set, complicial set, weak complicial set
• oriental
• quasicategory またはweak Kan complex

最初の2つについては, Streetの [Str87; Str03] や Joyal の [Joy02], そして Verity の [Ver08b; Ver08a; Ver07] が主な文献である。

Simplicial set が singular homology と密接に関係しているように, Borel-Moore homology に対応する simplicial set の類似を考えているのは Luu [Luu] である。

• simplicial controlled set

References

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