単体的対象の一般化や変種

ある圏\(\bm{C}\)における単体的対象とは, 単に関手 \[ X : \Delta ^{\op } \longrightarrow \bm{C} \] のことだから, 圏\(\Delta \)を別のsmall categoryに変えれば, 様々な一般化や 変種を作ることができる。

まず, simplicial object の直積などを考えるときに使うものとして以下があ る。

• bisimplicial object
• prismatic set
• cubical object

他には, 以下のようなものがある:

• dendroidal object [MW07; MW09]
• properadic graphical object [HRY]
• cyclic object [Con83]
• duplicial object [DK85]
• globular object [Bat98; Fut]
• permutohedaral object [SU04]
• Joyalの \(\Theta _n\)
• involution を持つ simplicial object [Moi]
• weak simplicial objectや weak-pseudo-simplicial object [Prz11; Prz15]
• \(\mathfrak{B}\)-object [SS]
• necklical object [RSb] や closed necklical object [RSa]

Dendroidal objectは small categoryと simplicial setの関係を multicategory へ一般化するために導入されたものであるが, properadic graphical objectは, それを更にproperadへ一般化するものとしてHackneyらの本[HRY]で 導入された。

Duplicial objectは, 簡単に言えばsimplicial objectにもう一つdegeneracyを 付け加え, cosimplicial objectとも思えるようにしたものである。DwyerとKan により[DK85]でConnesのcyclic objectを考えるために導入された。 Cyclic objectはduplicial objectにrelationを付け加えたものと思える。 Garner と Lack と Slevin の [GLS]でcategory theoryの視点か ら調べられている。

Permutohedral object は, その名の通り permutohedronの構造から定義される小圏からの 関手として定義される。

Joyal の \(\Theta _n\) は \(\Delta \) の iterated wreath product により定義されるものである。 Berger の [Ber07] や Rezk の [Rez10] で使われている。

Schlichtkrull と Solberg の \(\mathfrak{B}\)-object [SS] は braided monoidal category や double loop space の homotopy commutative な構造を rectify するために導入された。

Simplicial set の定義を face operator だけに限定したものを考えることもある。 \(\Delta \)-set と呼ばれることもあるが他の呼び方で呼ばれることも多い。 Rourke と Sanderson は, Fenn とのrack の分類空間に関する共 著[FRS07] の中で, degeneracy を持たない cubical set を \(\Box \)-set と呼んで用いている。

• \(\Delta \)-set
• \(\Box \)-set

\(\Delta \)-set は, \(\Delta \) の morphism を単射なものだけに制限したものから集合の圏への contravariant functor と考え られるが, 逆に, \(\Delta \) に morphism を追加することも考えられている。特に, 順序を無視した全ての写像を考えたものを symmetric simplcial set という。

• symmetric simplicial set

文献としては, Grandisの [Gra01a; Gra01b], RosickyとTholen の[RT03; RT08] などがある。 Roberts, Ruzzi, Vasselli の [RRV09] にも現れる。

Rodriguez Gonzalezは thesis [Gon; Rod12] でsimplicial descent categoryという概念を考え ている。幾何学的実現のようなfunctorを持つsimplicial objectの圏のようであ る。

このような様々な variation を統一して扱う方法として, quiver の表現を使う ことを Fei が [Fei] で提案している。\(\Delta \), \(\Box \), そして cyclic category \(\Lambda \) を統一して扱えるようで興味深い。

Simplicial object の定義に用いられる有限全順序 集合の (同型類の) 圏 \(\Delta \) を単なる有限集合の圏に変えることも考えられている。 例えば, Church, Ellenberg, Farb [CEF15] は有限集合と単射のなす 圏 \(\category{FI}\) を用いて FI-moduleの概念を定義した。

• FI-object と co-FI-object

このように定義域のsmall categoryを色々取り替えても, ホモトピー圏を取る と多くの場合 CW 複体のホモトピー圏と同値になる。 Cisinskiのthesis [Cis06]によると Grothendieck が “Pursuing Stacks” で導入した test category という概念は, そのような小圏の class である。

• test category

他に, higher category theory で使われる simplicial set の variation として, 以下のものがある。

• stratified simplicial set, complicial set, weak complicial set
• oriental
• quasicategory またはweak Kan complex

最初の2つについては, Streetの [Str87; Str03] や Joyal の [Joy02], そして Verity の [Ver08b; Ver08a; Ver07] が主な文献である。

Simplicial setがsingular homologyと密接に関係しているように, Borel-Moore homologyに対応するsimplicial setの類似を考えているのはLuu [Luu]である。

• simplicial controlled set

References

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[Ber07]

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