FI Objects and Co-FI-Objects

Church, Ellenberg, Farb [CEF15] は, 対称群の表現の stability を考えるために, 有限集合と単射のなす圏 (の skeletal subcategory) \(\category{FI}\) を用いることを提案した。 \(\category{FI}\) から加群の圏へのfunctor を FI-module と言い, contravariant functor を co-FI-module という。より一般に, simplicial object と cosimplicial object のように FI-object とco-FI-object が定義される。 ただし, 彼等より前に, Sagave と Schlichtkrull [SS12] が 位相空間の圏での FI-object を infinite loop space を strict commutative monoid object として表すために用いている。 Sagave と Schlichtkrull の論文では, \(\category{FI}\) は \(\mathcal{I}\) で表されているが。ここでは Church らの記号と用語を用いることにする。

• FI-object と co-FI-object

注意するのは, (co)simplicial object のときと逆で, \(\category{FI}\) からの covariant functor を FI-object, contravariant functor を co-FI-object と呼ぶことである。

各 \(n\) に対し, \(n\)次対称群 \(\Sigma _n\) の表現 \(V_n\) が与えられている場合, \(\{1,2,\ldots ,m\}\) から\(\{1,2,\ldots , n\}\) への単射から, 写像 \(V_{m}\to V_{n}\) が定義される場合が多い。Church らはそのような状況を抽象化して考えることを提案したのである。

例えば, 空間 \(X\) の \(n\)点 configuration space \(\mathrm{Conf}_{n}(X)\) は, \(n\)個の元からなる集合 \(S\) の \(X\) への埋め込みの成す空間 \(\mathrm{Emb}(S,X)\)とみなせ, そのコホモロジー \(H^*(\mathrm{Conf}_n(X))=H^*(\mathrm{Emb}(S,X))\) は \(\mathrm{Aut}(S)=\Sigma _n\) の表現になるが, 有限集合の包含 \(S\hookrightarrow T\) から制限による写像 \(\mathrm{Emb}(T,X)\to \mathrm{Emb}(S,X)\) が得られ, コホモロジーの間の写像 \(H^*(\mathrm{Emb}(S,X))\to H^*(\mathrm{Emb}(T,X))\) が得られる。 これにより configuration space のコホモロジー は FI-module の構造を持つ。 また そのホモトピー群 は co-FI-アーベル群の構造を持つが, それについては Kupers と Miller が [KM] で調べている。

他には, FI-object と co-FI-object の例としては以下のようなものがある。

• \(n\)点が mark された種数 \(g\) の Riemann面のmoduli space は co-FI-空間, よってそのコホモロジーは FI-module (Church, Ellenberg, Farb [CEF15])
• 多様体 \(M\) の\(n\)点を固定する mapping class group は, co-FI-group, よってコホモロジーは FI-module (Rolland [Rol])

前述したように, Sagave と Schlichtkrull [SS12] は, infinite loop space, すなわち \(E_{\infty }\)-space を strict commutative monoid object として表すために, 位相空間の圏での FI-object を用いている。 その (co)chain complex 版が Richter と Sagave [RS] により得られている。

FI-module の一般的 (代数的) な性質も調べられている。

• Noether環上の finitely genrated FI-module の sub-FI-module は finitely generated (Church, Ellenberg, Farb, Nagpal [Chu+])
• FI-module の Castelnuovo-Mumford regularity (Church and Ellenborg [CE])

変種としては, まず 群 \(G\) の作用を持つものがある。 Sam と Snowden [SSb] により導入された。

• \(\mathrm{FI}_{G}\)-module

Casto [Casb; Casa] はその応用を考えている。

Sam と Snowden は [SSa]で finite set と surjection の圏 \(\category{FS}\) を考えている。 Proudfoot [Pro] は, \(\category{FS}\) が type \(A\) Coxeter arrangement に対応することに気付き, その type \(B\) 版を導入している。

• FS-object と co-FS-object
• type \(B\) FS-object

FI-module での対称群を, 有限環上の general linear group や symplectic group に変えたものを Putman と Sam [PS] が導入している。

References

[Casa]

Kevin Casto. \(\mathrm{FI}_G\)-modules and arithmetic statistics. arXiv: 1703.07295.

[Casb]

Kevin Casto. \(\mathrm{FI}_G\)-modules, orbit configuration spaces, and complex reflection groups. arXiv: 1608.06317.

[CE]

Thomas Church and Jordan S. Ellenberg. Homology of FI-modules. arXiv: 1506.01022.

[CEF15]

Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, and Benson Farb. “FI-modules and stability for representations of symmetric groups”. In: Duke Math. J. 164.9 (2015), pp. 1833–1910. arXiv: 1204.4533. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-3120274.

[Chu+]

Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, Benson Farb, and Rohit Nagpal. FI-modules over Noetherian rings. arXiv: 1210.1854.

[KM]

Alexander Kupers and Jeremy Miller. Representation stability for homotopy groups of configuration spaces. arXiv: 1410.2328.

[Pro]

Nicholas Proudfoot. A type B analogue of the category of finite sets with surjections. arXiv: 2011.01313.

[PS]

Andrew Putman and Steven V Sam. Representation stability and finite linear groups. arXiv: 1408.3694.

[Rol]

Rita Jimenez Rolland. On the cohomology of pure mapping class groups as FI-modules. arXiv: 1207.6828.

[RS]

Birgit Richter and Steffen Sagave. A strictly commutative model for the cochain algebra of a space. arXiv: 1801.01060.

[SSa]

Steven V Sam and Andrew Snowden. Gröbner methods for representations of combinatorial categories. arXiv: 1409.1670.

[SSb]

Steven V Sam and Andrew Snowden. Representations of categories of G-maps. arXiv: 1410.6054.

[SS12]

Steffen Sagave and Christian Schlichtkrull. “Diagram spaces and symmetric spectra”. In: Adv. Math. 231.3-4 (2012), pp. 2116–2193. arXiv: 1103.2764. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.013.