Joyal の Θ

(Co)simplicial object を定義するときの small category \(\Delta \) の iterated wreath product を取ることにより, \(\Theta _n\) という small category が定義される。これは Joyalの preprint により導入されたものらしい。Clemens Berger ら [Ber02; Ber07] により調べられている。 Ayala と Hepworth の [AH14] に, Euclid空間の configuration space も含めて, 基本的なことが書かれている。

• level tree を用いた \(\Theta \) と \(\Theta _n\) の定義
• \(\Delta \) の iterated wreath product としての \(\Theta _n\)

この \(\Theta \) は, strict \(\omega \)-category の category の full subcategory とみなすことができるが, その面から Steiner が [Ste07] で調べている。

Bergner と Rezk [BR13] は, \(\Theta _n\) が Reedy category であることを示している。

\(\Theta _n\) は, Rezk [Rez10] により weak \((n+k,n)\)-category を定義するのにも使われている。Kan complex が \((\infty ,1)\)-category のモデルを提供するように, そこでは, \(\Theta _n\)-set の category に model structure を定義し, その fibrant object を \((n+k,n)\)-category として用いることを提案している。

• \(\Theta _n\)-set の category の model structure

Ara [Ara14] は、 Joyal の \(\Theta _n\) そのものではなく, \(\Theta _n\) 上の presheaf の category 上にある model structure を考え, その fibrant object を quasi-\(n\)-category, つまり \((\infty ,n)\)-category のモデルとして扱うことを提案している。

References

[AH14]

David Ayala and Richard Hepworth. “Configuration spaces and \(\Theta _n\)”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 142.7 (2014), pp. 2243–2254. arXiv: 1202. 2806. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-11946-0.

[Ara14]

Dimitri Ara. “Higher quasi-categories vs higher Rezk spaces”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 701–749. arXiv: 1206 . 4354. url: https://doi.org/10.1017/S1865243315000021.

[Ber02]

Clemens Berger. “A cellular nerve for higher categories”. In: Adv. Math. 169.1 (2002), pp. 118–175. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2056.

[Ber07]

Clemens Berger. “Iterated wreath product of the simplex category and iterated loop spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 230–270. arXiv: math/0512575. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.006.

[BR13]

Julia E. Bergner and Charles Rezk. “Reedy categories and the \(\Theta \)-construction”. In: Math. Z. 274.1-2 (2013), pp. 499–514. arXiv: 1110. 1066. url: https://doi.org/10.1007/s00209-012-1082-0.

[Rez10]

Charles Rezk. “A Cartesian presentation of weak \(n\)-categories”. In: Geom. Topol. 14.1 (2010), pp. 521–571. arXiv: 0901.3602. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.521.

[Ste07]

Richard Steiner. “Simple omega-categories and chain complexes”. In: Homology Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 451–465. arXiv: math/0608680. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127346.