Δ-set もしくは semisimplicial set

Simplicial set や simplicial space の定義から degeneracy を除いたものは, 様々な場面で登場する。 組み合せ論などでは, simplicial set より使われる分野は広い, と思う。

そのためか, 様々な名前で呼ばれている。 [FP90] には, presimplicial set と書いてある。Rourke と Sanderson は, 本 [RS72] や論文 [RS71] で, \(\Delta \)-set という名前で扱っている。McClure [McC13] や Ebert と Randal-Williams の [ER19] では, semisimplicial set や semisimplicial space と呼ばれている。

これらの新しい文献に従って, ここでは, semisimplicial set や semisimplicial space と呼ぶことにしよう。

Simplicial set は small category \(\Delta \) から集合の圏への contravariant functor であるが, semisimplicial set は \(\Delta \) の単射から成る部分圏 \(\Delta _{\mathrm {inj}}\) から集合の圏への contravariant functor である。 より一般に, 位相空間の圏などに値を持つ contravariant functor を考えることにより, semisimplicial space などの一般化が得られる。

Semisimplicial set や semisimplicial space の, simplicial set や simplicial space に比べたときの利点は, その幾何学的実現の構成にある。

• semisimplicial set や semisimplicial space \(X\) の幾何学的実現 \(\|X\|\)

Simplcial set (space) の幾何学的実現とよく似ているが, degeneracy が無いので, 単体を貼り合わせるときに潰していないところが, 重要な違いである。 その利点について, 詳しくは Segal の [Seg74] の appendix を見るとよい。また, Ebert と Randal-Williams の [ER19] にこのことも含めた semisimplicial space のホモトピー論的性質がまとめられている。

Segal の扱っているのは simplicial space であるが, その fat realization は semisimplicial space としての realization に他ならない。 中でも重要なのは次のホモトピー不変性である。

• \(f:X\to Y\) が semisimplicial space の写像で, 各 \(f_n : X_n\to Y_n\) がホモトピー同値であるとする。このとき, \(\|f\|:\|X\|\to \|Y\|\) もホモトピー同値になる。

Simplicial set では Kan condition はとても重要な性質であるが, semisimplicial set についても Kan condition を考えることができる。 McClure [McC13] は, Rourke と Sanderson [RS71] の次の結果の別証と拡張を与えている。

• Kan condition をみたす semisimplicial set は, simplicial set の構造を持つ。

更に, Steimle [Ste18] は weak Kan condition をみたす semisimplicial set で, 任意の object が idempotent self-equivalence をもつものは, simplicial set の構造を持つことを示している。

単体的複体は, その組み合せ論的構造が, 色々調べられているが, semisimplicial set を単体的複体の一般化とみなし, その組み合せ論的構造を調べようとしている人は, あまりいないように思う。 最近では, García-Calcines と Hernández-Paricio と Rivas-Rodoríguez の [GHR22] や [CPR] があるが。

References

[CPR]

Jose Manuel Garcia Calcines, Luis Javier Hernandez Paricio, and Maria Teresa Rivas Rodriguez. Semi-simplicial combinatorics of cyclinders and subdivisions. arXiv: 2307.13749.

[ER19]

Johannes Ebert and Oscar Randal-Williams. “Semisimplicial spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.4 (2019), pp. 2099–2150. arXiv: 1705. 03774. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.2099.

[FP90]

Rudolf Fritsch and Renzo A. Piccinini. Cellular structures in topology. Vol. 19. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1990, pp. xii+326. isbn: 0-521-32784-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511983948.

[GHR22]

José Manuel García-Calcines, Luis Javier Hernández-Paricio, and María Teresa Rivas-Rodríguez. “Augmented Simplicial Combinatorics through Category Theory: Cones, Suspensions and Joins”. In: Mathematics 10.4 (2022). url: https://www.mdpi.com/2227-7390/10/4/590.

[McC13]

James E. McClure. “On semisimplicial sets satisfying the Kan condition”. In: Homology Homotopy Appl. 15.1 (2013), pp. 73–82. arXiv: 1210.5650. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n1.a4.

[RS71]

C. P. Rourke and B. J. Sanderson. “\(\triangle \)-sets. I. Homotopy theory”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 22 (1971), pp. 321–338.

[RS72]

C. P. Rourke and B. J. Sanderson. Introduction to piecewise-linear topology. New York: Springer-Verlag, 1972, p. viii 123.

[Seg74]

Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology 13 (1974), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.

[Ste18]

Wolfgang Steimle. “Degeneracies in quasi-categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.4 (2018), pp. 703–714. arXiv: 1702. 08696. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0199-1.