Samelson product と Whitehead product

Samelson product と Whitehead product は, 本質的に同じものである。 どちらを先に勉強したら楽なのかはよく分からない。 co-Hopf space と Hopf space とを比べると, Hopf space の方が群との類似で分りやすいので, Samelson product をまず理解するのがよいかもしれない。

• \(Y\) が \([X,Y]_*\) が群になるようなHopf 空間のとき, (external) Samelson product \[ \langle -,- \rangle : [X_1,Y]_*\times [X_2,Y]_* \longrightarrow [X_1\wedge X_2,Y]_* \]

End [End80] は, より一般の \([X_1\times \cdots \times X_n,Y]_*\) の持つ構造を調べ, groups with projection の概念を得た。その結果は, Steiner [Ste82] により改良されている。

良く使われるのは, \(Y = \Omega Z\) の場合である。Adjoint の対応 \([X,\Omega Z]_* \cong [\Sigma X,Z]_*\) により \([\Sigma X,Z]_*\) に定義される積が, Whitehead product である。元々の Whitehead の定義 [Whi41] は違うが。

• Whitehead product の定義
• Adjointの同型 \[ [\Sigma X,Z]_* \cong [X,\Omega Z]_* \] に関する Whitehead product と Samelson product の関係

Whitehead product と Samelson product の基本については, Fred Cohen の講義録 [Coh87] の §1 を見るとよい。この講義録をちゃんと読むと, (unstable) ホモトピー論の実践的なテクニックが身に付くだろう。

Whitehead product や Samelson product は, smash product operation \[ \wedge : [X_1,Y_1]_*\times [X_2, Y_2]_* \longrightarrow [X_1\wedge X_2, Y_1\wedge Y_2]_* \] と深い関係にある。この smash product operation を secondary homotopy operation に拡張し, secondary Whitehead product を定義しているのが Baues と Muro の [BM08] である。彼等は, secondary homotopy group を定義し, その上の operation としてこれらを定義している。

Gray は, [Gra11] で単連結 co-Hopf space の category の上に “up to homotopy での monoidal structure” を定義し, それが Whitehead product の一般化を定義することを示している。

References

[BM08]

Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “Smash products for secondary homotopy groups”. In: Appl. Categ. Structures 16.5 (2008), pp. 551–616. arXiv: math/0604031. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-007-9071-x.

[Coh87]

F. R. Cohen. “A course in some aspects of classical homotopy theory”. In: Algebraic topology (Seattle, Wash., 1985). Vol. 1286. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 1–92. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078738.

[End80]

Werner End. “Groups with projections and applications to homotopy theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.2 (1980), pp. 111–123. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90122-X.

[Gra11]

Brayton Gray. “On generalized Whitehead products”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 363.11 (2011), pp. 6143–6158. arXiv: 0911.3133. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05392-4.

[Ste82]

Richard Steiner. “A note on groups with projections”. In: J. Pure Appl. Algebra 24.2 (1982), pp. 217–219. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90017-2.

[Whi41]

J. H. C. Whitehead. “On adding relations to homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 42 (1941), pp. 409–428. url: https://doi.org/10.2307/1968907.