Simplicial set の category の simplicial object を bisimplicial set という。Simplicial set
の直積を考えるときには当然考えないといけないものである。また, double category の nerve を考えるときにも必要になる。
定義は簡単で, category \(\bm {C}\) での bisimplicial object とは, functor \[ X : \Delta ^{\op }\times \Delta ^{\op } \rarrow {} \bm {C} \] のことである。
基本的なことは, 例えば Bousfield と Friedlander の [BF78] の Appendix B にまとめられている。
Waldhausen の [Wal78] の §II.5 にも有用な事実が書かれている。
2重の simplicial structure を持つので, geometric realization を2回とることで, CW complex
にすることができる。あるいは, diagonal をとり, simplicial set にするという手もある。更に, Artin と Mazur [AM66]
の §III で定義されている totalization という操作で simplicial set にするという手もある。Artin と Mazur
が言っているように, \(d(X)\) と \(T(X)\) はより一般の bisimplicial object に対しても適用できる操作である。
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bisimplicial set \(X\) の diagonal \(d(X)\)
- Artin-Mazur の totalization \(T(X)\)
Diagonal の geometric realization \(|d(X)|\) と \(X\) の bisimplicial set としての geometric realization は
weak equivalent である。これについては Fiedorowicz と Loday [FL91] は, Quillen の [Qui73]
を参照している。
Stevenson [Ste12] によると, Artin-Mazur の totalization \(T(X)\) と diagonal \(d(X)\) が weak equivalent
であることは, Cegarra と Remedios [CR05] によりつい最近証明されたようである。 Joyal と Tierney
の執筆中の本にも独立の証明があるらしい。Stevenson 自身, より elementary な証明を発見している。
一般化としては, functor \[ X : \underbrace {\Delta ^{\op }\times \cdots \times \Delta ^{\op }}_{n} \rarrow {} \bm {C} \] として定義される \(n\)-fold simplicial object がある。
- \(n\)-fold simplicial object
Double category の nerve を定義するときに自然に bisimplicial set が現れるように, \(n\)-fold category の
nerve を定義するときには \(n\)-fold simplicial set を使うのが自然である。
他にも Waldhausen category の \(S\)-construction でも登場する。
Petrić [Pet15] は, Segal condition を考えている。
関連したものとして prismatic set (object) がある。
References
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