余単体的対象

Simplicial object は, \(\Delta \) からの contravariant functor だったが, \(\Delta \) からある圏への covariant functor を cosimplicial object という。 位相空間, あるいは simplicial set の圏の cosimplicial object を cosimplicial space といい, 最も重要な cosimplicial object の一つである。

• cosimplicial space

Cosimplicial spectrum を考えるためには, 古い spectrum の定義ではダメである。 Totalization \(\mathrm{Tot}\) が定義できないからである。 EKMM の spectrum ならば, cosimplicial spectrum の \(\mathrm{Tot}\) が考えられる。

Cosimplicial space や cosimplicial spectrum に対しては, fibration の tower が構成でき, それから ホモトピー群を計算する spectral sequence が構成できる。

• cosimplicial space や spectrum の homotopy spectral sequence

一般の (simplicial) モデル圏でも, Bousfield [Bou03] による object の cosimplicial resolution と, それによる homotopy spectral sequence の構成がある。

ホモロジーを計算する spectral sequence もある。

• cosimplicial space の homology spectral sequence

余単体的対象は, comonad から構成されることも多い。 重要な例として, cobar construction がある。

代数的には, Dold-Kan correspondence (の dual) が重要である。つまり cosimplicial Abelian group と bounded below cochain complex の対応である。

• Dold-Kan correspondence

Scheme の category では, simplicial object は, 古くから [Fri82] 使われてきたが, cosimplicial object も使われるようになってきたようである。Deligne と Goncharov の [DG05] では, cobar construction が使われている。基本群を考えるためには, path の空間を考える必要があり, その為に cobar construction が使われているようである。Guillou の [Gui11] も見るとよい。

Elgueta [Elg04] は, 2-cosimplicial object という概念を考えている。

References

[Bou03]

A. K. Bousfield. “Cosimplicial resolutions and homotopy spectral sequences in model categories”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 1001–1053 (electronic). arXiv: math/0312531. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.1001.

[DG05]

Pierre Deligne and Alexander B. Goncharov. “Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixte”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38.1 (2005), pp. 1–56. arXiv: math/0302267. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2004.11.001.

[Elg04]

Josep Elgueta. “2-cosemisimplicial objects in a 2-category, permutohedra and deformations of pseudofunctors”. In: J. Pure Appl. Algebra 191.3 (2004), pp. 223–264. arXiv: math/0309066. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2003.12.007.

[Fri82]

Eric M. Friedlander. Étale homotopy of simplicial schemes. Vol. 104. Annals of Mathematics Studies. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1982, pp. vii+190. isbn: 0-691-08288-X; 0-691-08317-7.

[Gui11]

Bertrand J. Guillou. “The motivic fundamental group of the punctured projective line”. In: J. K-Theory 7.1 (2011), pp. 19–53. arXiv: 0903.1705. url: https://doi.org/10.1017/is010003006jkt113.