Test Category

Grothendieck は, “Pursuing Stacks” の中で, test category という概念を 導入した。単体的集合と small category の対応を拡張することが目的だっ た, と思われる。

Nerve を取ることにより得られる functor \[ N : \category {Cat} \rarrow {} \category {Set}^{\Delta ^{\op }}=\Delta ^{\wedge } \] が homotopy category の同値を誘導するというのは, Thomason の有名な定理 [Tho80] であるが, このときの \(\Delta \) を他の small category に変えたときに, homotopy category の同値が得られるのはどういう場合か, というのが Grothendieck の考えた問題である。

もちろん, nerve の定義を, 他の small category \(T\) に対し \[ \category {Cat} \rarrow {} \category {Set}^{T^{\op }} = T^{\wedge } \] の形に一般化するのは難しいが, 逆向きの functor \[ i_T : T^{\wedge } \rarrow {} \category {Cat} \] なら, Yoneda embedding \(y: T\to T^{\wedge }\) を用いて, \(x\in T^{\wedge }_{0}\) に対し comma category \(y\downarrow x\) を対応させることにより定義できる。 問題は, この functor \(i_{T}\) がいつ homotopy category の同値を誘導する か, ということである。

まず, homotopy category を考えるからには, \(i_{T}\) の定義域と値域は, model category やそれに類する構造を持つ必要 がある。 \(\category {Cat}\) については, Thomason の model structure [Tho80] を使うべきだろう。

\(T=\Delta \) のとき, \(\Delta ^{\wedge }\) は, simplicial set の category であり, simplicial set \(X\) に対し, 弱ホモトピー同値を weak equivalence とする model structure を持つ。 \(i_{\Delta }X\) は, \(X\) の重心細分の “simplex category” である。 Thomason の定理 [Tho80] により, \(i_{\Delta }\) は homotopy category の同値を誘導する。

参考文献としては, Maltsiniotis の [Mal05], Cisinski の thesis [Cis06] Jardine による Cisinski の idea の解説 などがある。

• weak test category の定義
• local test category の定義
• test category の定義

例としては, 以下のようなものがある。

• simplex category \(\Delta \)
• cube category \(\Box \)
• Joyal の \(\Theta \) と Ara [Ara12] によるその groupoid version
• enlargement を持つ cubicalizable category の cubicalization (Yoshida [Yos])
• dendroidal set の定義に使われる tree の成す category \(\Omega \) (Ara, Cisinski, Moerdijk [ACM])
• contraction morphism を持つ positive opetope の category (Zawadowski [Zaw])

積構造を考えるときは, strict test category を用いる。

• strict test category の定義

simplex category \(\Delta \) は strict test category になるが, cube category \(\Box \) は strict test category にならない。 Maltsiniotis [Mal09] は, connection を持つ cube のcategory \(\Box ^{c}\) は strict test category になることを示している。

References

[ACM]

Dimitri Ara, Denis-Charles Cisinski, and Ieke Moerdijk. The dendroidal category is a test category. arXiv: 1703.07098.

[Ara12]

Dimitri Ara. “The groupoidal analogue \(\widetilde {\Theta }\) to Joyal’s category \(\Theta \) is a test category”. In: Appl. Categ. Structures 20.6 (2012), pp. 603–649. arXiv: 1012.4319. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-011-9255-2.

[Cis06]

Denis-Charles Cisinski. “Les préfaisceaux comme modèles des types d’homotopie”. In: Astérisque 308 (2006), pp. xxiv+390.

[Mal05]

Georges Maltsiniotis. “La théorie de l’homotopie de Grothendieck”. In: Astérisque 301 (2005), pp. vi+140.

[Mal09]

Georges Maltsiniotis. “La catégorie cubique avec connexions est une catégorie test stricte”. In: Homology Homotopy Appl. 11.2 (2009), pp. 309–326. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1296138523.

[Tho80]

R. W. Thomason. “Cat as a closed model category”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 21.3 (1980), pp. 305–324.

[Yos]

Jun Yoshida. A general method to construct cube-like categories and applications to homotopy theory. arXiv: 1502.07539.

[Zaw]

Marek Zawadowski. Positive Opetopes with Contractions form a Test Category. arXiv: 1712.06033.