Lie Algebras and Related Structures in Homotopy Theory

Lie algebra は, 非可換性を表す 代数的構造の一つである。 ホモトピー論では, ホモロジーや ホモトピー群の構造として現れる。 その場合, Jacobi identity や skew-symmetricity について, 次数を考慮したものを考える。 更に微分を持つ differential graded Lie algebra もよく使われる。

• differential graded Lie algebra と関連した概念

まず, ホモロジーでは, 多重ループ空間の homology operation として現れる。 ただし, 素数 \(p\) を選び \(\F _{p}\) 係数のホモロジーを考えるため, Lie bracket 以外に, restriction という, \(p\)巾に対応する作用素を持つ restricted Lie algebra を考える必要がある。

• restricted Lie algebra

May と Ponto の [MP12] の Chapter 23 にまとめられている。

ホモトピー群や ホモトピー集合では, まず, Samelson 積や Whitehead 積がある。

• Samelson 積と Whitehead 積

Samelson 積や Whitehead 積の性質から分かるように, ホモトピー論における Lie algebra は, 本質的に unstable な情報を表していることが多い。 その視点から, unstable homotopy theory における Lie algebra について, Behrens と Malin が survey [BM] を書いている。

Samelson 積と Whitehead 積以外に, そこに書かれているのは以下の話題である。

• Curtis [Cur65] と Rector [Rec66] による unstable Adams spectral sequence の構成
• 恒等関手の Taylor tower に現れる Lie operad
• 有理ホモトピー論における Lie algebra model
• \(v_{n}\)-periodic homotopy type の Lie algebra model

Behrens と Malin の survey に書かれていないこととしては, Cohen と Moore と Neisendorfer の ホモトピー群の exponent の研究 [CMN79a; CMN79c; CMN79b] がある。

• ホモトピー群の exponent の問題

References

[BM]

Mark Behrens and Connor Malin. Unstable homotopy groups and Lie algebras. arXiv: 2410.18330.

[CMN79a]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Decompositions of loop spaces and applications to exponents”. In: Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus, Aarhus, 1978). Vol. 763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 1–12.

[CMN79b]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “The double suspension and exponents of the homotopy groups of spheres”. In: Ann. of Math. (2) 110.3 (1979), pp. 549–565. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971238.

[CMN79c]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Torsion in homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 109.1 (1979), pp. 121–168. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971269.

[Cur65]

Edward B. Curtis. “Some relations between homotopy and homology”. In: Ann. of Math. (2) 82 (1965), pp. 386–413. url: https://doi.org/10.2307/1970703.

[MP12]

J. P. May and K. Ponto. More concise algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Localization, completion, and model categories. Chicago, IL: University of Chicago Press, 2012, pp. xxviii+514. isbn: 978-0-226-51178-8; 0-226-51178-2.

[Rec66]

David L. Rector. “An unstable Adams spectral sequence”. In: Topology 5 (1966), pp. 343–346. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(66)90025-5.