Complicial Set や関連した概念

Complicial set とは, strict \(\omega \)-category の nerve を定義するために考えられたもので, simplicial set に構造を付加したものである。

Verity が一連の論文 [Ver08b; Ver08a; Ver07] で調べている。それによると, 1970年代半ばに数理物理学者の John Roberts [Rob79] により考えられたことが元になっているらしい。 Stratified simplicial set や complicial set は, 出版されていない preprint で定義されたらしい。

そして Street により [Str87] で調べられたが, complicial set が strict \(\omega \)-category の nerve の受け皿として正しいものであることが確かめられたのは, Verity の [Ver08b] において, である。

この Roberts のアイデアについては, Street の [Str87] の冒頭に History として書かれている。通常の圏の \(n\)次の nerve が \([n]\) からの functor として定義できるように, 高次の圏の nerve を 「\(n\)単体」からの高次の関手の集合として定義したい, というのが動機のようである。Street は, そのために \(\omega \)-category の列 \(\cO _{n}\) を定義し, oriental と呼んでいる。

• oriental

Complicial set の定義は, まずは degenerate simplex を全て含み 0-simplex を含まない simplex の部分集合が指定された simplicial set である stratified simplicial set が基礎になる。 Stratified simplicial set は, Riehl と Verity の本 [RV22] では, marked simplicial set と呼ばれている。

• stratified simplicial set あるいは marked simplicial set

Ozornova と Rovelli [OR20] は stratified simplicial set の category に fibrant object が complicial set になるような model structure を定義している。 この視点から見ると, simplicial set の Kan complex の役割を stratified simplicial set の category で果すものであることが分かる。

Verity 自身の興味は, bicategory の高次化にある, らしい。そのために weak complicial set や quasicategory などを考えている。

• weak complicial set

Riehl [Rie18] は, \((\infty ,n)\)-category のモデルとして使うことを考えている。

References

[OR20]

Viktoriya Ozornova and Martina Rovelli. “Model structures for \((\infty ,n)\)-categories on (pre)stratified simplicial sets and prestratified simplicial spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 20.3 (2020), pp. 1543–1600. arXiv: 1809.10621. url: https://doi.org/10.2140/agt.2020.20.1543.

[Rie18]

Emily Riehl. “Complicial sets, an overture”. In: 2016 MATRIX annals. Vol. 1. MATRIX Book Ser. Springer, Cham, 2018, pp. 49–76. arXiv: 1610.06801.

[Rob79]

John E. Roberts. “Mathematical aspects of local cohomology”. In: Algèbres d’opérateurs et leurs applications en physique mathématique (Proc. Colloq., Marseille, 1977). Vol. 274. Colloq. Internat. CNRS. Paris: CNRS, 1979, pp. 321–332.

[RV22]

Emily Riehl and Dominic Verity. Elements of \(\infty \)-category theory. Vol. 194. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2022, pp. xix+759. isbn: 978-1-108-83798-9. url: https://doi.org/10.1017/9781108936880.

[Str87]

Ross Street. “The algebra of oriented simplexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 49.3 (1987), pp. 283–335. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90137-X.

[Ver07]

Dominic Verity. “Weak complicial sets. II. Nerves of complicial Gray-categories”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 441–467. arXiv: math/0604416. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/431/08284.

[Ver08a]

D. R. B. Verity. “Weak complicial sets. I. Basic homotopy theory”. In: Adv. Math. 219.4 (2008), pp. 1081–1149. arXiv: math/0604414. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.06.003.

[Ver08b]

Dominic Verity. “Complicial sets characterising the simplicial nerves of strict \(\omega \)-categories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.905 (2008), pp. xvi+184. arXiv: math/0410412.