Cluster algebra と関連した概念

Cluster algebra は, Fomin と Zelevinsky [FZ02; FZ03b; BFZ05; FZ07] により, 表現論に関連して導入された概念である。

活発に研究されていて, 解説も様々なものが出ている。Zelevinsky の AMS Noticesの “WHAT IS ...?” の記事 [Zel07], B. Kellerによる解説 [Kel11b; Kel11a; Kel], Fomin の ICM 2010 の [Fom10], Lauren Williams の [Wil] など。

また, Fomin, Williams, Zelevinsky が執筆中の本は, 少しづつ arXiv に登場している。 Chapter 1から3が [FWZc], Chapters 4 と 5 が [FWZd], Chapter 6 が [FWZa], そして Chapter 7 が [FWZb] として出ている。

Fomin は, Cluster Algebras Portal というサイトを運営している。

Caldero と Zelevinsky [CZ] によると, cluster algebra は表現論だけでなく, 以下のことに応用されている:

逆に, Teichmüller theory や曲面の triangulation, そして, hyperbolic geometry などの情報から, cluster algebra の構造を調べようという試みもある。Fomin と Shapiro と Dylan Thurston の [FST08] である。

Fock と Goncharov は, このような “geometric origin” を持つ cluster algebra に関連した概念として, [FG09] で cluster ensemble というものを導入した。

  • cluster ensemble

Fomin と Zelevinsky [FZ03a] は, cluster complex と呼ばれる implicial complex の族を導入している。

Cluster category というものもある。Buan と Marsh と Reineke と Reiten と Todorov の [Bua+06] で導入された。Bounded derived category の quotient として得られ, triangulated category になる。

  • cluster category

Cluster category からは, subcategory による quotient を取ることにより, Abelian category を作ることができるが, より一般に triangulated category からその quotient として Abelian category を作ることを考えているのは Koenig と Zhu の [KZ08] である。

Cluster algebra と cluster category の直截的な関係を調べたものとしては, Caldero と Keller の [CKa; CKb] などがある。 例えば, cluster algebra が cluster category の Hall algebra として実現できることを示している。

Cluster の一般化として \(m\in \N \) に対し, \(m\)-cluster というものも定義されている。\(m=1\) のときが Fomin-Zelevinsky の cluster である。

  • \(m\)-cluster (Fomin-Reading [FR05])

それに対応する, \(m\)-cluster category を定義しようというのが, Hugh Thomas の [Tho07] である。

別の categorical approach として, Hernandez と Leclerc の [HL10] がある。Cluster algebra の monoidal categorification を定義している。Nakajima [Nak11] は, cluster category の方を additive categorification と呼んでいる。

  • cluster algebra の monoidal categorification

References

[BFZ05]

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[Bua+06]

Aslak Bakke Buan, Robert Marsh, Markus Reineke, Idun Reiten, and Gordana Todorov. “Tilting theory and cluster combinatorics”. In: Adv. Math. 204.2 (2006), pp. 572–618. arXiv: math/0402054. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.06.003.

[CKa]

Philippe Caldero and Bernhard Keller. From triangulated categories to cluster algebras. arXiv: math/0506018.

[CKb]

Philippe Caldero and Bernhard Keller. From triangulated categories to cluster algebras II. arXiv: math/0510251.

[CZ]

Philippe Caldero and Andrei Zelevinsky. Laurent expansions in cluster algebras via quiver representations. arXiv: math/0604054.

[FG09]

Vladimir V. Fock and Alexander B. Goncharov. “Cluster ensembles, quantization and the dilogarithm”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 42.6 (2009), pp. 865–930. arXiv: math/0311245. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4745-2_15.

[Fom10]

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[FR05]

Sergey Fomin and Nathan Reading. “Generalized cluster complexes and Coxeter combinatorics”. In: Int. Math. Res. Not. 44 (2005), pp. 2709–2757. arXiv: math/0505085. url: http://dx.doi.org/10.1155/IMRN.2005.2709.

[FST08]

Sergey Fomin, Michael Shapiro, and Dylan Thurston. “Cluster algebras and triangulated surfaces. I. Cluster complexes”. In: Acta Math. 201.1 (2008), pp. 83–146. arXiv: math/0608367. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-008-0030-7.

[FWZa]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapter 6. arXiv: 2008.09189.

[FWZb]

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[FWZc]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapters 1-3. arXiv: 1608.05735.

[FWZd]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapters 4-5. arXiv: 1707.07190.

[FZ02]

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[FZ03a]

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Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. “Cluster algebras. II. Finite type classification”. In: Invent. Math. 154.1 (2003), pp. 63–121. arXiv: math/0208229. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-003-0302-y.

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[HL10]

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[Kel]

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[Kel11a]

Bernhard Keller. “Algèbres amassées et applications (d’après Fomin-Zelevinsky, \(\ldots \))”. In: Astérisque 339 (2011). Séminaire Bourbaki. Vol. 2009/2010. Exposés 1012–1026, Exp. No. 1014, vii, 63–90. arXiv: 0911.2903.

[Kel11b]

Bernhard Keller. “Categorification of acyclic cluster algebras: an introduction”. In: Higher structures in geometry and physics. Vol. 287. Progr. Math. Birkhäuser/Springer, New York, 2011, pp. 227–241. arXiv: 0801.3103. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4735-3_11.

[KZ08]

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[Nak11]

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[Tho07]

Hugh Thomas. “Defining an \(m\)-cluster category”. In: J. Algebra 318.1 (2007), pp. 37–46. arXiv: math/0607173. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.09.012.

[Wil]

Lauren K. Williams. Cluster algebras: an introduction. arXiv: 1212.6263.

[Zel07]

Andrei Zelevinsky. “What is \(\dots \) a cluster algebra?” In: Notices Amer. Math. Soc. 54.11 (2007), pp. 1494–1495.