特性類

(可微分) 多様体は, 伝統的に各種不変量を用いて研究されてきた。その中には, ベクトル束の不変量とみなすことができるものもある。

ベクトル束の不変量は特性類 (characteristic class) と呼ばれる。

• Euler class
• Stiefel-Whitney class
• Chern class
• Pontrjagin class
• Chern character

代数的トポロジーの視点からは, 分類空間のコホモロジーを用いた定義が最も分りやすいだろう。 つまり, 特性類とは, 分類空間のコホモロジーの (代数としての) 生成元を“うまく”選んだものである。 基本対称式を使うと扱いやすい生成元がとれるので, それにより定義されたのが Chern class などである。

特性類に関する本としては, まず Milnor と Stasheff [MS74] を挙げないわけにはいかない。 最近 TeXromancers というグループにより \(\mathrm {\TeX }\) 化され, ここから download できるようになった。有り難い。

日本語では戸田-三村の「Lie群の位相」 [戸三78] にも, 基本的なことは書いてある。 層のコホモロジーの言葉で書いてあるものとして Schneidersの層と特性類についての解説 [Sch] も一読に値する。 他にもたくさんの解説がある。Webからdownloadできるものとしては, Nicolaescu の 本 [Nic07] や講義ノートなどがある。

三角形分割された多様体に対しては, 特性類を組合せ論的なデータで表わす, という問題が考えられる。 Gel\('\)fand と MacPherson の Pontrjagin class の公式 [GM92] が有名である。

• 特性類の組み合せ論的公式

Pontrjagin class と言えば, Bressler の [Bre07] がある。 そこでは, stack や vertex algebroid などの概念を用いた first Pontrjagin class の表示が与えられている。

可微分多様体に対しては, その接束の特性類のことをその多様体の特性類という。 Chern class などの場合, universal な特性類が, Grassmann 多様体の cohomology に定義されるが, それを微分形式を用いて表わすこともできる。

• Chern-Weil form

Chern-Weil理論の代数的な面に着目した研究も古くからある。最初は Henri Cartan の [Car51] なのだろうか。Universal bundle に対応するのは, Weil algebra というものである。

• Lie algebra \(\mathfrak {g}\) の Weil algebra \(W\mathfrak {g}\)
• Lie群 \(G\) を構造群に持つ smooth principal \(G\)-bundle \(P \to M\) に対し特性写像 \[ W\mathfrak {g} \longrightarrow \Omega (P) \] が定義される。

このように代数的に考えると 「非可換化」を考えることができる。 Alekseev と Meinrenken の [AM05] は, 「非可換特性類」の試みである。 そのアイデアは結び目の Vassiliev invariant や Kontsevich integral に関することに応用できるよう (Kricker の [Kri11]) で興味深い。

Lie algebra (Lie-Rinehart algebra) の cohomology の言葉で, Chern character を定義する (Maakestad [Maa05; Maa]) こともできる。

Chern-Weil form から Chern-Simons secondary characteristic class が定義される。

• Chern-Simons の secondary characteristic class
• Cheeger-Simons の differential character

Harvey と Lawson の [HL01] によると, differential character は Cheeger と Simons が1973年に導入したものらしい。Harvey と Lawson は, その論文で境界を持つ多様体に対して differential character の理論を構築し, Lefschetz duality の類似などを証明している。

Chern-Simons theory を始めとして, 高次の特性類が数理物理で果す役割は大きい。Sati の [Sat05] では \(M\)-theory との関連で, 新しい高次の Pontrjagin class の定義が提案されている。また, Hopkins と Singer は, differential character を一般化した枠組みとして differential generalized cohomology を [HS05] で定義している。 様々な分野の様々なアイデア (Pontrjagin の古いアイデアも) が使われていて, 非常に面白い。読み物としても面白いと思う。

• differential function
• generalized differential cohomology

Benameur と Maghfoul の [BM06] では, \(K\)-theory での differential character が定義されている。 そこでは, Baum と Douglas の \(K\)-homology の双対版が使われている。

特異点を持った多様体に対しては, tangent bundle が定義できないが, それでも各種特性類の拡張が考えられている。

• 特異点を持った多様体の特性類

References

[AM05]

Anton Alekseev and Eckhard Meinrenken. “Lie theory and the Chern-Weil homomorphism”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38.2 (2005), pp. 303–338. arXiv: math / 0308135. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2004.11.004.

[BM06]

Moulay-Tahar Benameur and Mohamed Maghfoul. “Differential characters in \(K\)-theory”. In: Differential Geom. Appl. 24.4 (2006), pp. 417–432. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.difgeo.2005.12.008.

[Bre07]

Paul Bressler. “The first Pontryagin class”. In: Compos. Math. 143.5 (2007), pp. 1127–1163. arXiv: math / 0509563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07002710.

[Car51]

Henri Cartan. “Notions d’algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie”. In: Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, 1950. Georges Thone, Liège, 1951, pp. 15–27.

[GM92]

I. M. Gel\('\)fand and R. D. MacPherson. “A combinatorial formula for the Pontrjagin classes”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 26.2 (1992), pp. 304–309. arXiv: math/9204231. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00282-3.

[HL01]

Reese Harvey and Blaine Lawson. “Lefschetz-Pontrjagin duality for differential characters”. In: An. Acad. Brasil. Ciênc. 73.2 (2001), pp. 145–159. arXiv: math/0512528. url: https://doi.org/10.1590/S0001-37652001000200001.

[HS05]

M. J. Hopkins and I. M. Singer. “Quadratic functions in geometry, topology, and M-theory”. In: J. Differential Geom. 70.3 (2005), pp. 329–452. arXiv: math/0211216. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143642908.

[Kri11]

Andrew Kricker. “Noncommutative Chern-Weil theory and the combinatorics of wheeling”. In: Duke Math. J. 157.2 (2011), pp. 223–281. arXiv: math/0612653. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2011-005.

[Maa]

Helge Maakestad. Gauss-Manin connections and Lie-Rinehart cohomology. arXiv: math/0602197.

[Maa05]

Helge Maakestad. “The Chern character for Lie-Rinehart algebras”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55.7 (2005), pp. 2551–2574. arXiv: math / 0408428. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2005__55_7_2551_0.

[MS74]

John W. Milnor and James D. Stasheff. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1974, pp. vii+331.

[Nic07]

Liviu I. Nicolaescu. Lectures on the geometry of manifolds. Second. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2007, pp. xviii+589. isbn: 978-981-277-862-8; 981-277-862-4. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812770295.

[Sat05]

Hisham Sati. “M-theory and characteristic classes”. In: J. High Energy Phys. 8 (2005), 020, 8 pp. (electronic). arXiv: hep-th/0501245. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/2005/08/020.

[Sch]

Jean-Pierre Schneiders. Introduction to Characteristic Classes and Index Theory. url: http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf.

[戸三78]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(上). Vol. 14-A. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1978.