特性類の組み合せ論的公式

単体分割された多様体 \(B\) の上の fiber bundle に対し, その特性類を, 組み合せ論的なデータで表そうという試みがある。 より正確には, ある特性類に対し, Poincaré dual がその特性類を表すような cycle を, \(B\) の simplicial chain complex の中に構成し, それを \(B\) の face poset のデータで表す, という問題である。 Poincaré dual を取るので, 多様体かそれに類する空間である必要がある。

最初にこのようなことを考えたのは, 恐らく Whitney [Whi40] だろう。Fiber bundle の概念自体 Whitney に依るものだから。 そこでは, sphere bundle の Stiefel-Whitney class の公式を得ている。 証明は Halperin と Toledo の [HT72] で与えられている。 Gaifullin の [Gaı̆10] によると, 別の公式が Cheeger の [CE70] の中の論文で与えられているそうである。

• combinatorial Stiefel-Whitney class

Pontrjagin class については, Gabrielov と Gel\('\)fandと Losik [GGL75; GGL76] が first Pontrjagin class の公式を得たのが最初である。 これについては, MacPherson [Mac78] による Bourbaki seminar での解説がある。Levitt の本 [Lev89] もある。 その結果は, Gel\('\)fand と MacPherson [GM92] により高次の Pontrjagin class に拡張されている。 そこでは, matroid という組み合わせ論の道具が用いられている。 ただし, Gaifullin の [Gaı̆10] によると, smoothing の data を用いているので, 純粋に組み合せ論的とは言えないようである。 Cheeger [Che83] も別の方法で公式を得ている。

• combinatorial Pontrjagin class

Gaifullin 自身は [Gaı̆04] で Pontrjagin class の多項式を表す cycle の存在を示している。また first Pontrjagin class の具体的な公式を得ている。 自身の [Gaı̆10] で, それが知られている first Pontrjagin class の公式の中でもっとも simple だと言っている。

一般的な local combinatorial formula の存在については, Levitt と Rourke の仕事 [LR78] がある。

他の特性類については, rational Euler class が Rocek と Williams の [RW91] で, Euler class が Mnëv の [Mnë] や Panina の [Pan] で, Chern class について, circle bundle の場合が Mnëv と Sharygin [MS16] により考えられている。

References

[CE70]

Topology of manifolds. Vol. 1969. Proceedings of the University of Georgia Topology of Manifolds Institute. Markham Publishing Co., Chicago, Ill., 1970, pp. xiv+514.

[Che83]

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[Gaı̆04]

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[Gaı̆10]

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[GGL75]

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A. M. Gabrièlov, I. M. Gel\('\)fand, and M. V. Losik. “A local combinatorial formula for the first Pontrjagin class”. In: Funkcional. Anal. i Priložen. 10.1 (1976), pp. 14–17.

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[HT72]

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[LR78]

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[Mac78]

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[MS16]

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[Pan]

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[RW91]

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[Whi40]

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