Novikov-type Conjectures

可微分多様体の 特性類や, それらから定義される不変量は, その多様体の tangent bundle の不変量である。 それが, どれぐらい多様体のトポロジーや幾何学的構造を反映しているかというのは, 基本的であり難しい問題である。

Ferry と Ranicki と Rosenberg による Novikov 予想についての survey [FRR95a] の “Precursors of the Novikov Conjecture” として書いてある部分を読むとよい。 Ferry と Ranicki と Rosenberg の解説は, 二分冊になっている本 [FRR95b; FRR95c] に収録されている。 Rosenberg の survey [Ros16] もある。

• Hirzebruch の signature theorem [Hir71]

Hirzebruch の signature theorem の “higher signature” への拡張として, Novikov が [Nov70] で提案したのが, Novikov 予想である。

• Novikov 予想

ここで, higher signature というのは, 単連結ではない多様体への signature の拡張のことである。Novikov 予想は, higher signature の homotopy 不変性を主張する予想である。

Novikov 予想は, その多様体 \(M\) の基本群 \(\Gamma =\pi _{1}(M)\) に関する assembly map \[ \Hom (L_{*}(\Z [\Gamma ]),\Q ) \rarrow {} H^{*}(B\Gamma ;\Q ) \] が全射であるという主張と同値になる。ここで, \(L\) は algebraic \(L\)-theory である。

このような, 群 \(\Gamma \) の group algebra や group \(C^{*}\)-algebra の代数的不変量と 分類空間 \(B\Gamma \) の(コ)ホモロジーとの関係についての予想が色々あるが, このページでは, それらをまとめて Novikov 型の予想と呼んでいる。 Novikov 予想の外に, 以下のようなものがある。

• Borel 予想
• Baum-Connes 予想
• Gromov-Lawson 予想, Gromov-Lawson-Rosenberg 予想
• Farrell-Jones 予想

これらは, surgery の理論を用いて解決することが試みられたりもしたが, 未だに部分的にしか解決されていない。 指数定理や 非可換幾何学など, 様々なことと深く関連した予想である。

Farrell-Jones 予想については, Bartels と Lück と Reich の [BLR08] や Lück の [Lüc10b; Lüc10a] を見るとよい。 Farrell-Jones 予想も含めた, Farrell と Jones の仕事についての survey と して, Jim Davis の [Dav12] がある。

今では, これらの予想については, Lück の本 [Lüc25] を読むべきだろう。 Part II の Chapter 16 で, それぞれの予想に対し, どのような群に対し証明されているかが書かれている。

Balmer と Matthey [BM04b] は, 図式の圏の モデル構造の言葉で, Baum-Connes 予想や Farrell-Jones 予想を formulate しようとしている。そのために, codescent という概念を [BM04a; BM06] などで導入して, 調べている。

この手の予想に現れる assembly map については, Lück の [Lüc20] がある。

• assembly map

それを orbit category から spectrum の category への functor を用いて表わすことを考えたのは Davis と Lück の [DL98] である。それにより, 各種 assembly map が統一的に扱えるようになる。そして, それを更に一般の model category に値を持つ functor に拡張し, topological Hochschild homologyなど も含めた枠組みを考えているのが, Balmer と Tabuada の [BT13] である。

Assembly map の一般化としては, Bohmann と Szymik [BS24] による algebraic theory への拡張もある。

Hirzebruch の本 [Hir95] からも分かるように, これらの不変量は複素数体上の代数多様体に対しても重要な意味がある。 その視点から, Novikov予想の代数幾何版を考えたのが, Rosenberg の [Ros08] である。

Novikov予想については, 特異点を持つ多様体への一般化も考えられている。 もちろん, Poincaré duality が必要になるので, intersection homology や \(L^2\)-cohomologyで Poincaré duality をみたすような空間でないといけない。 この手の一般化については, Albin らの [Alb+12; Alb+; Alb+17] がある。

Coarse 版もある。 Coarse Novikov conjecture については, Guo ら [Guo+24] は Guoliang Yu の ICM2006 での 講演録 [Yu06] を参照している。

References

[Alb+]

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[BM04a]

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