ホモトピー作用素

コホモロジーを単なる次数付き可換環ではなく, コホモロジー作用素の成す環の上の代数とみなす方がよいように, ホモトピー群やホモトピー集合でも, ホモトピー作用素を考えるのが自然である。

まずは Samelson product である。

• Samelson product と Whitehead product

Samelson product よりも基本的なのは写像の合成により得られる対応である。 更に高次の合成である Toda bracket が定義できる。

• 写像の合成により定義される対応 \[ \circ : [Y,Z]\times [X,Y] \longrightarrow [X,Z] \]
• Toda bracket

この視点からは, 球面のホモトピー群は, ホモトピー群の上の合成作用素の集合とみなすことができる。 丁度, Eilenberg-Mac Lane 空間の間のホモトピー集合が, ordinary cohomology の上の cohomology作用素を与えるように。

よって, primary cohomology operation の成す algebra として Steenrod algebra を考えたように, primary homotopy operation の成す algebra を考えるのは自然だろう。それが, \(\Pi \)-algebra である。Dwyer と Kan [DK89] によって研究が始まった。彼らは [DK94] でそのホモロジーやコホモロジーを定義している。

• \(\Pi \)-algebra

\(\Pi \)-algebra の概念は, van Kampen spectral sequence や Hurewicz spectral sequence に自然に表われる。

また, Streenrod algebra 上の module や unstable \(\mathcal {A}\)-module や algebra の実現問題のホモトピー版として, \(\Pi \)-algebra の実現問題も考えられている。 Blanc と Dwyer と Goerss の [BDG04] などである。

それを一般化して, \(\Pi \)-algebra の図式を, 空間の図式のホモトピー群として実現できないか, を考えているのは Blanc と Johnson とTurner の [BJT06] である。

彼等は [BJT10] で, higher cohomology operation も含め, diagram を rectify するときの obstruction として統一的に扱うことを提案している。その元になっているのは, Blanc と Markl の [BM03] と Dwyer と Kan と Smith の [DKS89] のようである。

Blanc と Johnson と Turner の [BJT12] によると, \(\Pi \)-algebra の実現問題へのこのアプローチは, Blanc [Bla95] により考えられたもののようである。もう一つの André-Quillen cohomology の元を obstruction として 使うアプローチとして, Dwyer と Kan と Stover の [DKS95] が挙 げれられている。

References

[BDG04]

D. Blanc, W. G. Dwyer, and P. G. Goerss. “The realization space of a \(\Pi \)-algebra: a moduli problem in algebraic topology”. In: Topology 43.4 (2004), pp. 857–892. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00074-0.

[BJT06]

David Blanc, Mark W. Johnson, and James M. Turner. “On realizing diagrams of \(\Pi \)-algebras”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), pp. 763–807. arXiv: math/0604161. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2006.6.763.

[BJT10]

David Blanc, Mark W. Johnson, and James M. Turner. “Higher homotopy operations and cohomology”. In: J. K-Theory 5.1 (2010), pp. 167–200. arXiv: 0906.0012. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010001011jkt099.

[BJT12]

David Blanc, Mark W. Johnson, and James M. Turner. “Higher homotopy operations and André-Quillen cohomology”. In: Adv. Math. 230.2 (2012), pp. 777–817. arXiv: 1107 . 4117. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.02.009.

[Bla95]

David Blanc. “Higher homotopy operations and the realizability of homotopy groups”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 70.1 (1995), pp. 214–240. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-70.1.214.

[BM03]

David Blanc and Martin Markl. “Higher homotopy operations”. In: Math. Z. 245.1 (2003), pp. 1–29. arXiv: math/0207082. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-003-0494-2.

[DK89]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “The enveloping ring of a \(\Pi \)-algebra”. In: Advances in homotopy theory (Cortona, 1988). Vol. 139. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989, pp. 49–60.

[DK94]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Homology and cohomology of \(\mathbf {\Pi }\)-algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 342.1 (1994), pp. 257–273. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154693.

[DKS89]

W. G. Dwyer, D. M. Kan, and J. H. Smith. “Homotopy commutative diagrams and their realizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 57.1 (1989), pp. 5–24. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(89)90023-6.

[DKS95]

W. G. Dwyer, D. M. Kan, and C. R. Stover. “The bigraded homotopy groups \(\pi _{i,j}X\) of a pointed simplicial space \(X\)”. In: J. Pure Appl. Algebra 103.2 (1995), pp. 167–188. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)00102-O.